Kontür integrali alabilmek için neden kontürün yönlü olmasına ihtiyaç var?

Question

Kompleks analize neredeyse yeni başladım ve anlayamadığım bazı şeyler var. Bunlardan birisi de, kontür integrali alabilmek için neden kontürün yönlü olmasına ihtiyaç var?

Comments

Kontür integralin tanımını yazabilir misin, oradan tartışalım? Bir de reel analizde 0'dan 1'e integral almak ile 1'den 0'a integral almak arasında neden fark olduğunu anlayabiliyor musun?

---

Kontür integralinin ne olduğunu henüz tam olarak öğrenmedim, dediğim gibi kompleks analizde çok yeniyim. Yalnızca ne durumlarda kontür integrali alınabildiğini öğrendim. Kontürün "yönlü" olma şartına anlam veremedim, hatta "yönlü" ne demek onu bile tam anladığımı zannetmiyorum. Neden yönsüz bir şeyin kontür integralini alamayayım ki? Anlayamadığım nokta burası, muhtemelen bilgi eksikliğinden.
Neden fark olduğunu anlayabiliyorum evet.

(gönderiminiz kopya gibi duruyor dediği için birkaç kez farklı şekilde yazıp postladım da, postlanmadığını sanıyordum, meğer postlanmış)

Answer 1

$C$ eğrisi, $|z|=1$ (birim çember) olsun.

$\int_C\frac1z\,dz$ yi hesaplayalım.

$C$ yi $z(t)=e^{it},\ 0\leq t\leq2\pi$ olarak (saatin tersi yönünde) parametrize edersek:

$\int_C\frac1z\,dz=\int_0^{2\pi}\frac1{e^{it}}\,ie^{it}\,dt=2\pi i$

$C$ yi $z(t)=e^{-it},\ 0\leq t\leq2\pi$ olarak (saat yönünde)  parametrize edersek:

$\int_C\frac1z\,dz=\int_0^{2\pi}\frac1{e^{-it}}\,(-i)e^{-it}\,dt=-2\pi i$

olur. Bu da, integralin değerinin eğrinin parametrizasyonuna bağlı olduğunu gösterir.

Biraz çaba ile, iki parametrizasyon aynı yönde (bunu kesin bir şekilde tanımlamak kolay) ise integrallerin değerinin aynı olacağı (ve yön değiştirmenin sadece, integralin değerini $-1$ ile çarpacağı) gösterilebilir

Comments

fiziksel bir analoji olarak  girdabin donus yonunde yuzmekle , ters yonde yuzmek arasindaki farki dusunebilirsiniz belki. ne kadar dogru oldu bilmiyorum ama

---

Benim anlamadığım şey bu değildi. Benim anlamadığım şey şu ki, yönsüz bir eğri üzerinde neden kontür integrali alamayayım ki? Ya da böyle bir eğri var mıdır? Yön aslında neyi ifade ediyor? Kontür integralleri tam olarak neyi ifade ederler?

---

"normal" integral alirkan de ayni seyi yapiyorsunuz, yukarida @Ozgur hocanin da dedigi gibi.

 Belirli Integral alirken ne yapiyoruz?

$\int_A^Bf(x)dx$ yazdiginizda, $A$ dan $B$ ye  yururken $f$ fonksyonunun degisimini  "topluyoruz" bir nevi.

$\int_B^Af(x)dx$ yazdiginizda, $A$ dan $B$ ye yurumek yerine $B$ den $A$ ya yuruyoruz.

En azindan ben boyle dusunuyorum resimsel olarak.

---

O zaman kontür integralleri neyi ifade ediyorlar?

---

ayni seyi, daha fiziksel bir analoji istersen bir kuvvet alaninda bir kapali egri uzerinde yururken kazandigin/kaybettigin enerji gibi dusunebilirsin

---

Üzerinde bulunduğumuz eğri ile integralin içindeki f(z) fonksiyonuna göre kontür integrali alıyoruz ya, sonuçta çıkan fonksiyon ile f(z) ve eğri arasındaki ilişki tam olarak ne?