Matrislerde Carpma Islemine Dair Bir Soru

1 beğenilme 0 beğenilmeme
112 kez görüntülendi

Soru birkac asamadan olusuyor, ve ben cevabi biliyorum. Ama lisans ogrencisiyseniz uzerinde dusunmeye deger bir soru oldugunu dusunuyorum.

0) Reel sayilarda $x^2 = 1$ denklemini nasil cozdugumuzu hatirla: $$x^2 = 1 \implies x^2 -1 = 0 \implies (x+1)(x-1) = 0 \\ \implies x +1 = 0 \text{ ya da } x - 1 = 0 \\ \implies x = -1 \text{ ya da } x = 1$$

1) $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, -I = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$ ve $W = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ olmak uzere $I^2 = (-I)^2 = W^2 = I$ oldugunu gozlemle. $x^2 = I$ denkleminin en az uc cozumu olduguna ikna ol. (Karakteristik nedir biliyorsan, kendini buna ikna etmek icin calistigin halkanin karakteristigi uzerine bir kisitlama getir, ya da baska bir ucuncu ornek bul.)

2) Simdi bir onceki maddeyi bildigini unut. Sunu kanitlamaya calis: "$A^2 = I$ ise $A = I$ ya da $A = -I$ olmalidir.". Dogal olarak kanitlayamayacaksin cunku bunun dogru olmadigini biliyorsun. Cunku birinci maddeyi unut dedim, ama unutamadin. $A^2 =I$ ise $A = W$ da olabilir (bir onceki maddeye bak). Ama sen yine de kanitlamaya calis. Sifirinci maddeye don. Orada yaptigini yapmaya calis:

$$A^2 = I \implies A^2 - I = 0 \\ \implies (A+I)(A - I) = 0 \\ \implies A+I = 0 \text{ ya da } A - I = 0 \\\implies A = - I \text{ ya da } A= I$$

Bu HATALI. Cunku sonucun dogru olmadigini biliyoruz. 

Soru: Hata hangi okta? Ya da birden fazla okta hata varsa, ilk hata hangi okta? Ok derken $\implies$ isaretinden bahsediyorum.

29, Aralık, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Ozgur (2,024 puan) tarafından  soruldu

Hata $(A+I)(A-I)=0 \Rightarrow A+I=0 \text{ ya da } A-I=0$ kisminda. Matris halkasi (mesela $\mathbb R$ uzerinde) sifir bolen icerir. Hatta yukaridaki birinci madde her karakteristikte sifir bolen icerdigini gostermis oluyor, bu ornek uzerinden hatta.

Bu kadar cevap yeter mi bilemedim, bu nedenle yorum olarak yazdim. 

$(A+I)(A-I)=0$ dan sonraki $\Rightarrow$ yanlis. Yani kismen yanlis. Cunku iki matrisin carpiminin sifir matrisi olmasi icin matrislerden birinin kesin olarak sifir matrisi olmasina gerek yok. Bu yuzden ikiden fazla cozum var..
@Sercan Bu kadar cevap yeter. Istedigim buydu.
@ece celik Ikinizden biriniz cevaba cevirmek ister mi yorumunu? 

Bu soru matrislerin gosterildigi ilk derste ogrencileri zorluyor. Tutorialda soruyorum. %40 ikinci ok %40 ucuncu ok diyor. Sonra $AB = 0$ olacak sekilde sifir olmayan $A, B$ matrisleri gosterip bir kez daha soruyoru. Ucuncu ok yukari firliyor.

Peki $A^2 - B^2 = (A - B)(A+B)$ esitligi her zaman dogru mu? sorusunu soruyorum ondan sonra. 

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Hata $(A+I)(A-I)=0 \Rightarrow A+I=0 \text{ ya da } A-I=0$ kisminda. Matris halkasi (mesela $\mathbb R$ uzerinde) sifir bolen icerir. Hatta yukaridaki birinci madde her karakteristikte sifir bolen icerdigini gostermis oluyor, bu ornek uzerinden hatta. 

31, Aralık, 2015 Sercan (22,582 puan) tarafından  cevaplandı
13, Ocak, 2016 Ozgur tarafından seçilmiş
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Özgür soru nedir anlamadım ancak şöyle bir cevap yazayım istedim. $A^2=I$ ise $(detA)^2=1$ yani $det(A)=\pm 1$ olur ki; bu ise bütün dönme ve yansımalara karşılık gelen matrislerdir.

30, Aralık, 2015 Handan (1,490 puan) tarafından  cevaplandı

Soru, "Soru:" dan sonra geliyordu, en sondaydi :). Sercan ve ece celik istedigim cevabi verdiler yorumlarda. 

Bu soruya nerden geldiğini anlamamıştım. Diğer altuzay sorusunu çok sonra gördüm. Orada ise buraya gönderme yapılmamıştı diye hatırlıyorum. 

...