Orjine gore simetrik konveks duzlem dogrusunun antipodlari arasindaki uzaklik

Question

Konveks simetrik bir $\gamma$ egrisinin antipodlari arasindaki uzaklik egrinin cevresinin yarisi midir ? Eger dogru ise konveksite sartindan vazgecebilir miyiz ?

Comments

Soyle bir fikir yuruttum ne kadar dogru emin degilim.

$P_1$, $P_2$ nin antipodu olsun.

$A = P_1P_2$ dogrusunu cizelim.

$A$ ya paralel, egri ile kesismeyen, egriye en yakin $A_1$ ve $A_2$ dogrularini cizelim.

$A_1$  ile $A$ arasindaki uzaklik $A_2$ ile $A$ arasindaki uzakliga esit olmali sanki.

egri uzerindeki butun antipodlari birlestiren dogrulari cizelim.

Bu dogrularin $A_1$ ve $A_2$ ile kesisimlerinden egrinin sag tarafi ve sol tarafi icin $(A_i,\phi_i : A_i \to (0,1) )$ haritalarini elde edebiliriz. Bu haritalarin soyle bir ozelligi olmali

$\phi_1^{-1}(x) = \phi_2^{-1}(1-x) $

Galiba $x$ noktasindaki tanjant uzayi ile $y$ noktasindaki tanjant uzayi birbirine pararalel olacak eger $x$ ile $y$ birbirinin antipodu ise. (bu manali mi, manali ise formal tanimi ne ?)

sanki bunlardan yola cikip egrinin cevresinin uzunlugunun $P_1P_2$ arasindaki uzunlugun iki kati oldugunu soyleyebiliriz

---

$O$ orijin $P_1$, $P_2$ nin antipodu olsun.

$O, P_1 ,P_1 + \delta $ nin olsturdugu ucgen , $ O, P_2, P_2 - \delta$ nin olusturdugu ucgene estir demek istiyorum galiba.

---

Eger bu dogruysa "boyle bir egri uzerinde 4 tane nokta vardir ki bir dikdortgen olustururlar" diye bilir miyim?

Sanirim bunu dememe bile ihtiyac yok

Egri uzerinde $P_0 = (p,0)$ ve  P_1 = $(0,q)$ noktalarini sec.

$ P_2 = (-p,0)$ ve $P_3= (0,-q)$ noktalari antipod olacak.

 

$d_{euc}( P_{i \text{  mod $4$}} , P_{(i+1) \text{  mod $4$}}) = l$

ve

$\langle P_{i \text{  mod $4$}} \quad | \quad P_{(i+1) \text{  mod $4$}}\rangle = 0$.

Bu bize orjine gore simetrik her egrinin uzerine bir kare  eskenar dortgen cizebilecegimizi gosterir (mi ?) .