Pozitif Definit Matrisler Cokkatlisi

Question

Simetrik pozitif definit matriksler uzerine calisiyorum ve bazi sorularim olacakti.

$\mathcal{P}$ pozitif definit matriksler, $\mathcal{S}$ ise simetrik matriksler cokkatlisi olsun.

$\log : \mathcal{P} \to \mathcal{S}$ surekli ve turevlenebilir, keza tersi de surekli ve turevlenebilir (oyle mi gercekten?). O zaman $\log$ bir diffeomorfizma.

Yanilmiyorsam elimizde bir diffeomorfizma varsa ve hedef veya cikis cokkatlimizin birinin metrigini biliyorsak, o metrigi cikis veya hedef cokkatlimiza tasiyabiliyoruz. Demem o ki

$f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}$ bir diffeomorfizma ise

$\langle A, B \rangle_{\mathcal{X}} = \langle df(A), df(B) \rangle _{\mathcal{Y}}$

(boyle mi gercekten?)

 

$\mathcal{S}$ uzerinde yanilmiyorsam soyle bir metrik var

$\langle A,B \rangle = trace(AB)$

Bunu kullanarak $\mathcal{P}$ uzerinde $x$ noktasindaki tanjant uzayi uzerindeki ic carpimi (metrik metrik diyordum rahatsiz oldum) soyle buldum

$\langle A,B \rangle_x = trace(Ax^{-1}Bx^{-1})$

Az onceki adimdan hic emin degilim ama gercekten ic carpimin tum ozelliklerini sagliyor bu ifade.

Daha sonra geodezikleri buldum lagrange-euler denklemlerini cozup.

$P_0$ ve $P_1$ arasindaki geodezigi

$\gamma_{P_{01}}(t) = P_0^{0.5}(P_0^{-0.5}P_1P_0^{-0.5})^t P_0^{0.5}$

$P \in \mathcal{P}$ noktasindan baslayip $S \in \mathcal{S}$ yonunde ilerleyen geodezigi ise

$\gamma(t) = P^{0.5}exp(P^{-0.5}SP^{-0.5}t) P^{0.5}$

seklinde buldum.

Geodezikleri kullanarak $P1$ ve $P2$ arasindaki uzakligi

$d(P_1,P_2)=\|\log(P_1^{-0.5}P_2 P_1^{-0.5}) \|_F$ (frobeneius normu)

seklinde buldum. Biraz ilginc bir uzaklik fonksyonu bu aslinda

soyle ozellikleri oldugunu gosterdim:

$d(x^{-1},y^{-1}) = d(x,y^{-1})$

$d(AXA^{-1},AYA^{-1}) = d(X,Y)$

 

Simdi ise bu cokkatlinin curvature (bukumluluk? ) tensorunu hesaplamak istiyorum ama isin icinden cikamadim. yardimci olabilir misiniz?

(Aslinda curvature in tam degerine de ihtiyacim yok sectional curvature in asla pozitif olmadigini gostersem de yeter bana)