$[\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3},\sqrt{22}]:\mathbb{Q}]=?$ genişlemesinin derecesi kaçtır?

Question

şimdi ben şöyle yaptım,

$x=\sqrt{22}  \rightarrow  x^2-22=0$ dir. $(x^2-22)\in\mathbb{Q}[x]  $ dir.

$x=\sqrt{5+\sqrt{3}}  \rightarrow  x^4-10x^2+22=0$ dır.  $(x^4-10x^2+22=0)\in\mathbb{Q}(\sqrt{22})[x]$ dir  diye buldum ama aklıma nedense yatmayan sondaki bulmuş oldugum polinom "$x^4-10x^2+22=0$" acaba doğru mu ?

 

birde ben mi farklı birşey yazıyorum gösterildiği gibi yazdım ama gene olmadı bu kodlarla :)

Comments

Tüm yazılan şeyler için mi hocam ?  Parça parça yazıyorum diyelim  her parçanın başına ve sonuna mı koymak gerek.Yoksa en baş ve en son bir tane araya yaz istediğini gibi mi?

---

Parça parça da yazabilirsin.

$\sqrt{22}$ o polinomun kökü mü?

Ek: İki farklı genişleme mu var yoksa (her iki sayıyı da içeren tek genişleme mi?

---

Başlıktaki gibi bir yazım var mı? Ayrı iki cisim var gibi. $\mathbb Q(\sqrt{5+\sqrt{3}},\sqrt{22})$ cismi denmek isteniyor herhalde.

---

O iki cismin elemanlarının gerdiği minimal ideal/cisim mi denmek istiyor :)

---

$\sqrt{22}$ o polinomun kökü değil  $\mathbb{Q}$ üzerinde .

Cisim genişlemelerinde minimal polinom buluyorduk ya şimdi gerdiği değince ben hiç öyle öğrenmediğim için belki aynı şeydir.

$\mathbb Q(\sqrt{5+\sqrt{3}},\sqrt{22})$ bu cisim demek istiyorum :)

---

Bir cisim genişlemesinin minimal polinomu ne demek?

---

Mesela $F$ bir cisim, $E$ de $F$ nin bir cisim genişlemesi ve $u\in E$ , $F$ üzerinde cebirsel olacak. O zaman monik ve indirgenmez olan bir polinom $F[x]$  de vardır. Bu polinoma $p(x)$ diyelim. $p(u)=0$ dır. Bu $p(x)$ polinomu $F$ üzerindeki minimal polinomu demekti.

---

Ama hepsi aynı olmaz ki.

$1+\sqrt2,\sqrt2\in\mathbb{Q}[\sqrt2]$ ama  minimal polnomları farklı.

---

Diyoruz ki genişleme cisminde farklı elemanlar için farklı minimal polinom bulabiliriz. Hocam o zaman aradıgımız minimal polinomu neye göre belirleyelim? Farklı elemanlar için bir tek sağlayan polinom mu bulmak gerekli ?

Cok yanlıs mı düşünüyorum terk edeyim mi hemen burayı :)

---

Şöyle bir soru anlamlı olur:

$\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3},\sqrt{22}]=\mathbb{Q}[\alpha]$ olacak şekilde (varsa) bir $\alpha$ bulup onun minimal polinomunu bulmak.

Ya da 

$[\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3},\sqrt{22}]:\mathbb{Q}]=?$ (genişlemenin derecesini) kaçtır?

---

Şimdi bu ikisi arasındaki fark nedir peki? İki türlü soruda da minimal polinom bulmamız gerekmez mi ki?

---

Genel olarak bir genişlemenin minimal polinomu anlamsızdır (cebirsel elemanların minimal ponomu anlamlıdır), Ama genişlemenin derecesi her zaman vardır. (vektör uzayının boyutu)

$E=F[\alpha]$ şeklindeki genişlemelere basit genişleme denir.

Her genişleme basit değildir. Basit genişlemelerde, genişlemenin derecesi (herhangi böyle bir) $\alpha$ nın minimal polinomunun derecesine eşittir (ve $\alpha$ seçiminden bağımsızdır).

---

O zaman benim soruyu değiştirmem gerekecek sanırım ama benim beynim durdu hocam daha bir tık ileri gitmek zor geliyor suan. Defterimdeki konuyu düzgün hatim edemedim demek şuan. Kac sefer baktım dünden beri. Acaba anlamadıgım yeri mi anlatamadıgımdan dolayı anlamadım. Kafa karışıklıgı yasıyorum özür dilerim :)

---

şimdi hocam düşündüm taşındım ve " $[\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3},\sqrt{22}]:\mathbb{Q}]=?$ genişlemenin derecesini) kaçtır? " sorusunun daha uygun olacagının kanaatine vardım ve

$[\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3},\sqrt{22}]:\mathbb{Q}]= [\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3},\sqrt{22}]:[\mathbb{Q}\sqrt{22}]].[[\mathbb{Q}\sqrt{22}]:\mathbb{Q}]$ şeklinde ayırıp

$[[\mathbb{Q}\sqrt{22}]:\mathbb{Q}]=deg(Irr(\sqrt{22},\mathbb{Q})=deg(x^2-22)=2$  ve

$[\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3},\sqrt{22}]:[\mathbb{Q}\sqrt{22}]] = deg(Irr(\sqrt{5+\sqrt3},\mathbb{Q}(\sqrt{22}))=deg(?)$

$Irr(\sqrt{5+\sqrt3},\mathbb{Q}(\sqrt{22}))=?$ bu çıkacak minimal polinomun benim ilk başta ifade ettiğim polinom olup olmayacagından şüpheleniyorum. Çünkü bu ifadede $\mathbb{Q}(\sqrt{22})$ cismi üzerine genişleme oldugundan acaba ben normal $\mathbb{Q}$ cismi üzerindekiyle mi karıstırıyorum diyorum.

Egerim karıstırmıs olursam farklı bir polinom gerekli ama burdanda o farklı polinomu bulamıyorum yada bulabilecegimi görmüyorum yada gerçekten farklı düşünmem gerekli.

---

Eğer $\sqrt{22} \in \mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt{3}}]$ ise (ki sanmıyorum), o zaman $\sqrt{5+\sqrt{3}}$ sayısının $\mathbb{Q}[\sqrt{22}]$ cismi üzerine minimal polinomu anlamlı olabilir.

---

Benim düşündüğümde aynı değilmiydi? $\sqrt{5+\sqrt{3}}$ sayısı üzerine düşündüm ama işte tam olarak hakim olamadım. Kafamı karıstıran burda farklı birşey yok sanırım ama

 $\sqrt{5+\sqrt{3}}=x   \rightarrow   x^4-10x^2=-22  \rightarrow 10x^2-x^4=22  \rightarrow \sqrt{10x^2-x^4}=\sqrt{22} \rightarrow  $

$\sqrt{10x^2-x^4}-\sqrt{22}=0$ minimal polinomun böyle olması mı mantıklı o zaman ? yoksa ben bu yolu düşünmeyim sileyim mi?

---

$\sqrt{10x^2-x^4}-\sqrt{22}$ bir polinom değil.

$[\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3},\sqrt{22}]:\mathbb{Q}]= [\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3},\sqrt{22}]:\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3}]]\cdot[\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3}]:\mathbb{Q}]$

şeklinde dşünmek daha kolay olabilir.

---

$[\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3},\sqrt{22}]:\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3}]]$ peki burdan cıkacak polinom 2.dereceden bir polinom mu olacak ?

yani  $deg(Irr(\sqrt{22},\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3}]=deg(x^2-22)=2$  diyebilir miyiz ve

$[\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3},\sqrt{22}]:\mathbb{Q}]$ bu genişlemenin derecesi 8'dir diyebiliriz demek mi oluyor?

---

Demek yeterli değil. İnandırman (=ispatlaman=kanıtlaman) gerekiyor

---

$[\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3},\sqrt{22}]:\mathbb{Q}]= [\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3},\sqrt{22}]:\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3}]]\cdot[\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3}]:\mathbb{Q}]$

$[\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3},\sqrt{22}]:\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3}]]=deg(Irr(\sqrt{22},\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3}]=deg(x^2-22)=2$

$[\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3}]:\mathbb{Q}]=deg(Irr(\sqrt{5+\sqrt3},\mathbb{Q}))=deg(x^4-10x^2+22)=4$

o zaman

$[\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3},\sqrt{22}]:\mathbb{Q}]= [\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3},\sqrt{22}]:\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3}]]\cdot[\mathbb{Q}[\sqrt{5+\sqrt3}]:\mathbb{Q}]=2\cdot4=8$

lütfen inanın ben inandım inşallah dogru :)