Cisim genişlemeleri ve cebirsel genişlemeler

0 beğenilme 0 beğenilmeme
624 kez görüntülendi
$E$ cismi $F$ nin bir cisim genişlemesi olsun. $K$ da $E$ nin içerisindeki $F$ üzerinde cebirsel olan bütün elemanların kümesi olsun. Bu durumda $K$ nın da $F$ nin bir cisim genişlemesi olduğunu nasıl gösterebiliriz?
12, Aralık, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Hamza (20 puan) tarafından  soruldu

İspatın neresinde takıldınız?

3 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$F$ bir cisim, $E$ bu cismi içeren herhangi bir başka cisim ve $a\in E$ de $F$ üzerine cebirsel bir eleman olsun. Bu durumda $$a_0+a_1a+\cdots+a_na^n=0$$eşitliğini sağlayacak $a_0,a_1,\cdots,a_n\in F$ elemanları bulabiliriz. Burada $a_0$ ve $a_n$'nin sıfır olmadığını kabul edebiliriz. O halde $$1=a\times-[\frac{a_1}{a_0}+\frac{a_2}{a_0}a+\cdots+\frac{a_n}{a_1a_0}a^{n-1}]$$ Yani $F[a]$ kümesinin içinde $a^{-1}$ elemanı da bulunuyormuş. $F(a)$'nın tanımı gereği $F(a)\subseteq F[a]$ sonucu, oradan da $F(a)= F[a]$eşitliği elde edilir. Özetlersek $a$ eğer $F$ üzerine cebirsel ise $F[a]=F(a)$ oluyormuş. Bunu kullanarakrğer $a$ ve $b$ elemanları $F$  üzerine cebirsel ise $$F(a,b)=F(a)(b)=F[a](b)=F[a][b]=F[a,b]$$ eşitliği bulunur. $F[a,b]$ sonlu bir genişleme, öte yandan $a+b$ ve $a^{-1}$ elemanlarını da içeriyor.

12, Aralık, 2015 Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  cevaplandı
13, Aralık, 2015 Hamza tarafından seçilmiş
Şükranlarımı iletiyorum.

Bu ispatta bir bit yeniği var.

$a_0$ elemanını sıfırdan farklı kabul edebilmemiz, sağladığı polinomun monik indirgenemez olduğunu varsayabilmemizden mi?

0 beğenilme 0 beğenilmeme

ipucu: $a,b \ne 0 \in K$ elemanlari icin $F(a,b)$ cisminin $F$ uzerinde sonlu bir genisleme olacagini ve dolayisiyla da cebirsel bir genisleme alacagini gozlemleyin. Bu da $a+b$ ve $ab$  ve $b^{-1}$ elemanlarinin da $K$ kumesi icinde oldugunu verir.

Duzenleme: Yazim hatasi.

12, Aralık, 2015 Sercan (23,213 puan) tarafından  cevaplandı
12, Aralık, 2015 Sercan tarafından düzenlendi

Meselem $a$ ve $b$,  $K$ nın elemanları iken $a+b$ ve $a/b$ nin $F$ üzerinde cebirsel olduğunu göstermek

Bu da o ispati veriryor.

Ondan ziyade $a$ cebirsel ise $F(a)$'nın sonlu genişleme olduğunu göstermek yeterli.

Şükranlarımı iletiyorum, açıkça yazmanız çok işime yaradı.

Ne demek, ben tesekkur ederim.

Sercan sana degil bana tesekkur etmis bence :) Bi de Dogan hocanin linkine.

Mekan sahibi olarak %5'i benim olmuyor mu :)

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Ters eleman icin ek bir cevap olarak: $0\ne a \in K$ olsun. O zaman $a$ icin $a_n,a_0 \ne 0$ olacak sekide $a$ elemanini sifirlayan bir $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ polinomu vardir. Bu durumda $x^nf(1/x)$ polinomu da $1/a$ elemanini sifirlar.

13, Aralık, 2015 Sercan (23,213 puan) tarafından  cevaplandı
...