Üçgende İç Merkez, Nagel Noktası

Question

Teorem: Bir üçgende iç teğet çemberin merkezi, medial üçgeninin Nagel noktasıdır. Gösteriniz.

 

İspat: Detaylı bir ispatı Burada PDF olarak derlemiştim.

 

Notlar:

1. Bir $ABC$ üçgeninin kenar orta noktalarını köşe kabul eden üçgene, $ABC$ üçgeninin medial üçgeni denir.

2. $ABC$ üçgeninin dış teğet çemberleri $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$ kenarlarına sırasıyla $S_a$, $S_b$, $S_c$ noktalarında teğet ise $AS_a$, $BS_b$, $CS_c$ doğruları noktadaştır. Bu noktaya $ABC$ üçgeninin Nagel noktası denir.

 

Answer 1

Şimdi daha fazla homoteti kullanılan bir ispat ekleyelim. Bu ispat, problemin dokusunu daha iyi açıklıyor.

 

Teorem: $ABC$ üçgeninde $(I)$ iç teğet çemberi ve $(I_a)$ dış teğet çemberi $BC$ doğrusuna sırasıyla $S$, $S_a$ noktalarında değsin. $[SS']$, $(I)$ çemberinin bir çapı olsun. 

a. $A$, $S'$, $S_a$ noktalarının doğrusal olduğunu ispatlayınız.

b. $A'$, $B'$, $C'$; $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$ kenarlarının orta noktaları olsun. $I$ noktasının, $A'B'C'$ üçgeninin Nagel noktası olduğunu ispatlayınız.

c. $I$, $G$, $N$ noktalarının doğrusallığını ve $\dfrac{|GI|}{|GN|}=\dfrac{1}{2}$ olduğunu ispatlayınız. ($G$ ile $N$ sırasıyla, $ABC$ üçgeninin kenarortaylarının kesim noktası ve Nagel noktasıdır.)

 

İspat:
a. $A$ merkezli $\dfrac{r}{r_a}$ oranlı homoteti $S_a$ noktasını $S'$ noktasına gönderir. Böylece $A$, $S'$, $S_a$ noktaları doğrusal olur.

b. $[SS']$ nün orta noktası $I$ ve $[SS_a]$ nın orta noktası $A'$ olduğundan $A'I \parallel S_aS' =AS_a$ olur. $AS_a$, $BS_b$, $CS_c$ noktaları $N$ Nagel noktasında kesişmektedir. Böylece medial homoteti; $N$ noktasını $A'I$, $B'I$, $C'I$ doğrularının kesim noktasına gönderir. Dolayısıyla $N$ noktasının $ABC$ üçgenindeki özelliği ile $I$ noktasının $A'B'C'$ üçgenindeki özelliği aynıdır.

c. $N$ ve $I$ noktaları, $G$ merkezli $-\dfrac{1}{2}$ oranlı medial homoteti için homotetik eşlenik noktalar dır. Homotetik eşlenik noktalar ve homoteti merkezi doğrusal olduğundan $I$, $G$, $N$ noktaları doğrusaldır. Homoteti oranından $\dfrac{|GI|}{|GN|}=\dfrac{1}{2}$ bulunur.

 

Kaynak: Cem Tezer'in 26 Aralık 1998 tarihli Geometri-1 dersi 2. Ara sınavı.