Metrik uzay, yığılma noktası ve kardinalite

Question

$(X,d)$ metrik uzay, $x_0\in X$ ve $A\subseteq X$ olmak üzere

$$(x_0\in D(A))(\epsilon>0)\Rightarrow |B(x_0,\epsilon)\cap A|\geq\aleph_0$$

önermesi doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız.

Not: $D(A):=\{x|x, A\text{'nın yığılma noktası}\}$

Comments

Uzay sonlu olduğunda bu önermenin doğru olmayabileceği akla gelebilir. Ancak sonlu uzaylarda uzayın her altkümesinin türev kümesi (yani uzayın her altkümesinin yığılma noktalarının oluşturduğu küme) boş küme olacağından dolayı uzayın sonlu olamayacağına dikkat çekmek isterim.

Answer 1

$x_0\in D(A),$ $\epsilon >0$ olsun ve $|B(x_0,\epsilon )\cap A|<\aleph_0$ olduğunu varsayalım.

$\left.\begin{array}{rrr} |B(x_0,\epsilon)\cap A|<\aleph_0\Rightarrow  (\exists x_1,x_2,\ldots ,x_n \in X)(B(x_0,\epsilon)\cap A=\{x_1,x_2,\ldots ,x_n\}) \\ \\ \delta:=\min \{d(x_0,x_1),d(x_0,x_2),\ldots ,d(x_0,x_n)\}  \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (B(x_0,\delta)\setminus\{x_0\})\cap A=\emptyset$

$\Rightarrow x_0\notin D(A)\Big{/} \text{Çelişki.}$