Crux 1975 Problem 7 - Polinom

Question

1975 te yayınlanmaya başlanan Crux Dergisinin ilk sayısının 7. problemi:

 

Problem 7: $P(x)+1$, $(x-1)^3$ ile tam bölünecek ve $P(x)-1$, $(x+1)^3$ ile tam bölünecek biçimde beşinci dereceden bir $P(x)$ polinomu bulunuz.

 

Comments

Lokman hocam bu sorulari sormaya devam edecekseniz bu baslik altinda bir liste hazirlayabilirsiniz, isterseniz. Diger turlu ulasmasi zor oluyor.

Ben bir tane seriyi toparlamistim, su an sitede parca parca arasan bulamazsin bunlari :)
https://matkafasi.com/17191/#a17192

---

Bilgilendirme için teşekkürler Sercan hocam. Crux problemleri okuyucular çözebilsin diye belli bir seviyede kurgulanıyor ve bu sebeple ilgi çekicidir, bunlara devam edebilirim.  Dediğiniz gibi  bir düzenleme olabilir.

Answer 1

$P'(x)=3(x+1)^2q_1(x)$ ve $P'(x)=3(x-1)^2q_2(x)$ şeklinde olur.

$P'(x)$ 4. derece polinom ve $(x+1)^2$ ve $(x-1)^2$  ile bölünebiliyor,

öyleyse (bir $a\neq0$ sabiti için)

$P'(x)=a(x-1)^2(x+1)^2=a(x^2-1)^2=a(x^4-2x^2+1)$ şeklinde olmalıdır.

Buradan $P(x)=a(\frac15x^5-\frac23x^3+x)+c $ ($c$ bir sabit) olduğu görülür.

$P(x)+1,\ (x-1)^3$ e bölünebildiği için ($x=1$ alarak) $P(1)=-1$ bulunur.

Buradan, $c+\frac{8a}{15}=-1$ den $c=-1-\frac{8a}{15}$ bulunur.

(bir $a\neq0$ sabiti için) $P(x)=a(\frac15x^5-\frac23x^3+x-\frac{8}{15})-1$ olmalıdır.

Düzeltme ve Ek: (lokman gökçe uyardı, teşekkürler.)

$P(x)-1,\ (x+1)$ e bölündüğü için, ayrıca $P(-1)=1$ olması gerekir:

$a(-\frac15+\frac23-1-\frac{8}{15})-1=1$ olmalı. Bu nedenle $a=\frac{-15}8$ olması gerekir.

$P(x)=-\frac38x^5+\frac54x^3-\frac{15}8x$ olmalıdır.