Crux 1975 Problem - 15 Hiperbol ve Diklik Merkezi

Question

Problem 15: Dİkdörtgensel (diğer ismiyle ikizkenar) bir hiperbol üzerinde alınan üç farklı nokta $A$, $B$, $C$ ise $ABC$ üçgeninin diklik merkezinin de hiperbol üzerinde bulunacağını kanıtlayınız.

                                    

 

Notlar:

1. $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ olsun. $ABC$ üçgeninin kenar orta noktaları, $ABC$ üçgeninin dikme ayakları ve $[AH]$, $[BH]$, $[CH]$ doğru parçalarının orta noktaları (dokuz nokta) çemberseldir. $ABC$ üçgeninin dokuz nokta çemberi olarak isimlendirilir.

2. Burada, $ABC$ üçgeninin dokuz nokta çemberinin, ikizkenar hiperbolün merkezinden geçtiği de ifade edilmiştir. Bu özelliğin ispatını da ayrı bir problem olarak soralım.

Answer 1

Çözüm: 

Analitik düzlemde koordinat eksenlerini döndürerek $x^2 - y^2 = k^2$ denklemine sahip ikizkenar bir hiperbolü $xy=a$ biçimindeki bir denkleme dönüştürebileceğimizi biliyoruz. Bu hiperbolün üstünden $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$ noktalarını alarak $ABC$ üçgenini oluşturalım. $y_1=\dfrac{a}{x_1}$, $y_2=\dfrac{a}{x_2}$, $y_3=\dfrac{a}{x_3}$ olur. $AC$ doğrusunun eğimi $m_{AC}=\dfrac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1}=-\dfrac{a}{x_1 x_3}$ dir. Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı $-1$ olduğundan $m_{AC}\cdot m_{BH} = -1$ olup

                                              $$m_{BH} = - \dfrac{x_1  x_3}{a}$$

bulunur. $B$ den geçen yükseklik doğrusunun denklemi $y-y_2 = m_{BH}(x-x_2)$ dir. Bu doğrunun hiperbolle kesişim noktası $H'(x_0, y_0)$ olsun. $y_0 = \dfrac{a}{x_0}$ olur. $H'(x_0, y_0)$ noktasını bu yükseklik doğrusunun denkleminde yazarak

                                                    $$x_0=-\dfrac{a^2}{x_1 x_2 x_3}$$

bulunur. $x_0=-\dfrac{a^2}{x_1 x_2 x_3}$ değeri $x_1$, $x_2$, $x_3$ için simetik olduğundan $AH$ ve $CH$ doğrularının da hiperbolü kestiği noktalar hesaplanırsa aynı $H'(x_0, y_0)$ noktasında kestiğini anlarız. Öte taraftan bir üçgende üç yükseklik noktadaş olduğundan (yani $H$ diklik merkezinde kesiştiğinden) $H=H'$ aynı noktadır. Böylece $ABC$ üçgeninin $H$ diklik merkezi hiperbol üzerinde bulunur.

 

Not: Bu güzel sorunun çözümünü Geometer's Sketchpad programıyla da destekleyerek Burada video sundum. 

Comments

Geçen gün bir iki çizim programına bakıyordum.  'Geometer's Sketchpad' için arama yapınca bu videolar çıktı. Bi mutlu oldum tanıdık ses duyunca :)

---

Sercan hocam sağolun. Siz de matematik videoları yapsanız, zevkle dinlerim :)