Çözüm:
Analitik düzlemde koordinat eksenlerini döndürerek $x^2 - y^2 = k^2$ denklemine sahip ikizkenar bir hiperbolü $xy=a$ biçimindeki bir denkleme dönüştürebileceğimizi biliyoruz. Bu hiperbolün üstünden $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$ noktalarını alarak $ABC$ üçgenini oluşturalım. $y_1=\dfrac{a}{x_1}$, $y_2=\dfrac{a}{x_2}$, $y_3=\dfrac{a}{x_3}$ olur. $AC$ doğrusunun eğimi $m_{AC}=\dfrac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1}=-\dfrac{a}{x_1 x_3}$ dir. Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı $-1$ olduğundan $m_{AC}\cdot m_{BH} = -1$ olup
$$m_{BH} = - \dfrac{x_1 x_3}{a}$$
bulunur. $B$ den geçen yükseklik doğrusunun denklemi $y-y_2 = m_{BH}(x-x_2)$ dir. Bu doğrunun hiperbolle kesişim noktası $H'(x_0, y_0)$ olsun. $y_0 = \dfrac{a}{x_0}$ olur. $H'(x_0, y_0)$ noktasını bu yükseklik doğrusunun denkleminde yazarak
$$x_0=-\dfrac{a^2}{x_1 x_2 x_3}$$
bulunur. $x_0=-\dfrac{a^2}{x_1 x_2 x_3}$ değeri $x_1$, $x_2$, $x_3$ için simetik olduğundan $AH$ ve $CH$ doğrularının da hiperbolü kestiği noktalar hesaplanırsa aynı $H'(x_0, y_0)$ noktasında kestiğini anlarız. Öte taraftan bir üçgende üç yükseklik noktadaş olduğundan (yani $H$ diklik merkezinde kesiştiğinden) $H=H'$ aynı noktadır. Böylece $ABC$ üçgeninin $H$ diklik merkezi hiperbol üzerinde bulunur.
Not: Bu güzel sorunun çözümünü Geometer's Sketchpad programıyla da destekleyerek Burada video sundum.