Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
616 kez görüntülendi

Problem (Viktors Linis): k, pozitif tam sayılar olmak üzere 36k5 ifadesinin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değer kaçtır?

Lisans Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından  | 616 kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Her k,lN+ için

36k5l1k1mod5

36k5l1l3mod4 olur.

Çin Kalan Teoreminden

36k5l11mod20 olacaktır.

Bu da (  36k5l>0 koşulundan dolayı)

36k5l{20n+11:n0}={11,31,51,71,} olması demektir.

Bu nedenle (36k5l>0 ise) 36k5l11 olur.

 36152=3625=11 olduğu için 36k5l nin alabileceği en küçük pozitif değer 11 dir.
(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Çözüm için teşekkür ederim değerli hocam. Benzer bir yolla çözüm ekleyeceğim ben de.
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Çözüm 2:

 

Her k, pozitif tam sayısı için

36k6k6(mod10) ve 55(mod10) olduğundan 36k51(mod10) olur. Böylece  36k5 ifadesinin 10n+1 formunda bir pozitif tam sayı olabileceğini anlarız.

 

En küçük değer için n=0 denenirse 36k5=1 için çözüm aramalıyız. 36k1=5 olup iki kare farkından (6k+1)(6k1)=5 olur. 

6k+1=5a6k1=5b, a+b=, a>b olacak biçimde a,bN olmalıdır. Fakat buradan 5a5b=2 çelişkisi bulunur.

 

O halde en küçük değer için n=1 verelim. 36k5=11 denklemini sağlayan k=1, =2 değeri vardır.

 

 

Ek Soru: 36k5=11 denkleminin k=1, =2 değerlerinden başka pozitif tam sayılarda çözümü var mıdır?

 

Çözüm: 36k5=11 denkleminini mod6 da incelersek (1)1(mod6) olup buradan =2m biçiminde pozitif çift tam sayı olmalıdır. Böylece 36k52m=11 olup iki kare farkı özdeşliğinden (6k+5m)(6k5m)=11 yazılır. Yalnızca

6k+5m=116k5m=1

durumu mümkün olup denklemler alt alta toplanırsa 26k=12 bulunur. Buradan tek çözüm k=1, =2 elde edilir.

(2.6k puan) tarafından 
20,297 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,726,992 kullanıcı