Çözüm 2:
Her k,ℓ pozitif tam sayısı için
36k≡6k≡6(mod10) ve 5ℓ≡5(mod10) olduğundan 36k−5ℓ≡1(mod10) olur. Böylece 36k−5ℓ ifadesinin 10n+1 formunda bir pozitif tam sayı olabileceğini anlarız.
En küçük değer için n=0 denenirse 36k−5ℓ=1 için çözüm aramalıyız. 36k−1=5ℓ olup iki kare farkından (6k+1)(6k−1)=5ℓ olur.
6k+1=5a, 6k−1=5b, a+b=ℓ, a>b olacak biçimde a,b∈N olmalıdır. Fakat buradan 5a−5b=2 çelişkisi bulunur.
O halde en küçük değer için n=1 verelim. 36k−5ℓ=11 denklemini sağlayan k=1, ℓ=2 değeri vardır.
Ek Soru: 36k−5ℓ=11 denkleminin k=1, ℓ=2 değerlerinden başka pozitif tam sayılarda çözümü var mıdır?
Çözüm: 36k−5ℓ=11 denkleminini mod6 da incelersek (−1)ℓ≡1(mod6) olup buradan ℓ=2m biçiminde pozitif çift tam sayı olmalıdır. Böylece 36k−52m=11 olup iki kare farkı özdeşliğinden (6k+5m)(6k−5m)=11 yazılır. Yalnızca
6k+5m=116k−5m=1
durumu mümkün olup denklemler alt alta toplanırsa 2⋅6k=12 bulunur. Buradan tek çözüm k=1, ℓ=2 elde edilir.