Çözüm 2:
Her k, \ell pozitif tam sayısı için
36^k \equiv 6^k \equiv 6 \pmod{10} ve 5^{\ell} \equiv 5 \pmod{10} olduğundan 36^k - 5^{\ell} \equiv 1 \pmod{10} olur. Böylece 36^k - 5^{\ell} ifadesinin 10n +1 formunda bir pozitif tam sayı olabileceğini anlarız.
En küçük değer için n=0 denenirse 36^k - 5^{\ell}=1 için çözüm aramalıyız. 36^k - 1 = 5^{\ell} olup iki kare farkından (6^k +1)(6^k-1)=5^{\ell} olur.
6^k +1=5^a, 6^k -1=5^b, a+b=\ell, a>b olacak biçimde a, b \in \mathbb N olmalıdır. Fakat buradan 5^a - 5^b =2 çelişkisi bulunur.
O halde en küçük değer için n=1 verelim. 36^k - 5^{\ell}=11 denklemini sağlayan k=1, \ell = 2 değeri vardır.
Ek Soru: 36^k - 5^{\ell}=11 denkleminin k=1, \ell = 2 değerlerinden başka pozitif tam sayılarda çözümü var mıdır?
Çözüm: 36^k - 5^{\ell}=11 denkleminini \mod 6 da incelersek (-1)^{\ell} \equiv 1 \pmod{6} olup buradan \ell = 2m biçiminde pozitif çift tam sayı olmalıdır. Böylece 36^k - 5^{2m}=11 olup iki kare farkı özdeşliğinden (6^k +5^m)(6^k-5^m)=11 yazılır. Yalnızca
\begin{array}{lcl} 6^k +5^m&=&11 \\ 6^k - 5^m &=&1 \\ \end{array}
durumu mümkün olup denklemler alt alta toplanırsa 2\cdot 6^k =12 bulunur. Buradan tek çözüm k=1, \ell = 2 elde edilir.