Processing math: 10%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
611 kez görüntülendi

Problem (Viktors Linis): k, pozitif tam sayılar olmak üzere 36k5 ifadesinin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değer kaçtır?

Lisans Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından  | 611 kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Her k,lN+ için

36^k-5^l\equiv1^k\equiv 1\mod 5

36^k-5^l\equiv -1^l\equiv3\mod 4 olur.

Çin Kalan Teoreminden

36^k-5^l\equiv 11\mod 20 olacaktır.

Bu da (  36^k-5^l>0 koşulundan dolayı)

36^k-5^l\in\{20n+11:n\geq0\}=\{11,31,51,71,\ldots\} olması demektir.

Bu nedenle (36^k-5^l>0 ise) 36^k-5^l\geq11 olur.

 36^1-5^2=36-25=11 olduğu için 36^k-5^l nin alabileceği en küçük pozitif değer 11 dir.
(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Çözüm için teşekkür ederim değerli hocam. Benzer bir yolla çözüm ekleyeceğim ben de.
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Çözüm 2:

 

Her k, \ell pozitif tam sayısı için

36^k \equiv 6^k \equiv 6 \pmod{10} ve 5^{\ell} \equiv 5 \pmod{10} olduğundan  36^k -  5^{\ell} \equiv 1 \pmod{10} olur. Böylece  36^k -  5^{\ell} ifadesinin 10n +1 formunda bir pozitif tam sayı olabileceğini anlarız.

 

En küçük değer için n=0 denenirse  36^k -  5^{\ell}=1 için çözüm aramalıyız.  36^k - 1 = 5^{\ell} olup iki kare farkından (6^k +1)(6^k-1)=5^{\ell} olur. 

6^k +1=5^a6^k -1=5^b, a+b=\ell, a>b olacak biçimde a, b \in \mathbb N olmalıdır. Fakat buradan 5^a - 5^b =2 çelişkisi bulunur.

 

O halde en küçük değer için n=1 verelim.  36^k -  5^{\ell}=11 denklemini sağlayan k=1, \ell = 2 değeri vardır.

 

 

Ek Soru:  36^k -  5^{\ell}=11 denkleminin k=1, \ell = 2 değerlerinden başka pozitif tam sayılarda çözümü var mıdır?

 

Çözüm:  36^k -  5^{\ell}=11 denkleminini \mod 6 da incelersek (-1)^{\ell} \equiv 1 \pmod{6} olup buradan \ell = 2m biçiminde pozitif çift tam sayı olmalıdır. Böylece  36^k -  5^{2m}=11 olup iki kare farkı özdeşliğinden  (6^k +5^m)(6^k-5^m)=11 yazılır. Yalnızca

\begin{array}{lcl} 6^k +5^m&=&11 \\ 6^k - 5^m &=&1 \\ \end{array}

durumu mümkün olup denklemler alt alta toplanırsa 2\cdot 6^k =12 bulunur. Buradan tek çözüm k=1, \ell = 2 elde edilir.

(2.6k puan) tarafından 
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,935 kullanıcı