Toplamları 40 olan iki doğal sayının ebobunun 3 ve ya 7 olamayacağını göster

Question

İspatını aşağıdaki şekilde yaparsam ispat kurallarına uygun olur mu?  3 ve ya 7 demesi farklı şekilde ispat mı gerektirir? Ben şöyle yaptım: X+y=40 , ve (x,y)=3 olsun. X=3k y=3t olur. 

3k+3t=40 ise 3(k+t)=40 k,t tam sayı olduğundan 40/3 tam sayı olmadığından çelişki olup (x,y)=3 olamaz.

7 içinde aynı bu şekilde ayrı olarak yazdım.İspat bu şekilde doğru mu yoksa ve ya bağlacı farklı tür ispat mı gerektirir?

Comments

Doğru gitmişsin. Ayrıca 40/3 tam sayı değil ile 40 3e tam bölünmüyor aynı değil mi? Temel bir ders olduğundan bunun nedeni de beklenebilir. 

---

Ayrıca $k$  ve   $t$  tam sayılarının aralarında asal olduğunu belirtsen daha güzel olur.

---

Sagolun hocam tamamdır

Answer 1

$a+b=40$ olmak uzere $(a,b)=3$ oldugunu varsayalim. Bu durumda $$3\mid a \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 3\mid b$$ ebob tanimi geregi saglanir. 

Tam bolmenin tanimi geregi (sirasiyla) oyle $k$ ve $l$ tam sayilari vardir ki $$a=3k \ \ \ \text{ ve } \ \ \ b=3l$$ olarak yazilabilir. 

Dolayisiyla $$40=a+b=3k+3l=3(k+l) \ \ \ \text{ ancak ve ancak }  \ \ \ 1=3(k+\ell-13)$$ esitligi saglanir. 

$k,l,-13$ tam sayilar oldugundan $k+l+(-13)=k+l-13$ de bir tam sayi olur. Dolayisiyla, tam bolme tanimi geregi, $$3\mid 1$$ saglanir. (Kalan gibi kavramlari ogrenmediginizi varsayiyorum.)

Celiski elde etmek icin genel bir bilgi olarak sunu ispatlayabilirsin: $a$ ve $b$ pozitif tam sayilar olmak uzere $a\mid b$ ise $$b-a$$ negatif olmayan bir tam sayidir. (Esitsizlik gorduyseniz gosterilmesi gereken $a\le b$ oldugu.)