Sayısal Mantık Sorusu

Question

Aşağıda verilen 49 birimkareden oluşan şekle [-23,25] aralığındaki tüm tam sayılar, her biri farklı kareye yazılıcak şekilde yerleştirilecektir.

*Her satır, sütun ve köşegen üzerindeki sayıların toplamı birbirine eşittir.

*Yeşil boyalı karelerin içindeki sayıların toplamı 17 dir. 

Buna göre, a+b+c+d+f+g+3e toplamı kaçtır ? 

Cevap:10

Hocam ben şöyle düşündüm. O aralıktaki sayıların toplamı 24+25=49 dur. O zaman her satır, sütun ve köşegen üzerindeki sayıların toplamı 49:7=7 dir. Devamında nasıl bir yol izleyeceğimi bilmiyorum.

 

Comments

Beyaz karelerdeki sayıların toplamını bulabilir misin?

---

Hocam yeşil karelerin toplamı 17 olduğuna göre beyaz karelerin toplamı 49-17=32 olması lazım. Doğru mu düşünüyorum hocam ?

---

Dikkat edersen a,b,c,d,e,f birden çok satır,sütun veya köşegene ait olan karelerdeki sayılar.

Bundan bir denklem elde etmeye çalış.

---

Hocam pek anlayamadım. Nasıl denklem kurabilirim ? a+e+d=c+e+b gibi mi ? Hepsinin ortak noktası e olduğuna göre e den gideceğiz ama nasıl ?

---

Her (tamamen beyaz) satır ve sütun ve ii köşegen için (bilinmeyen beyaz karelerdeki sayıları da içeren) 6 denklem ve tüm beyaz karelerdeki değerler için de bir denklem, toplam 7 denklem yazabilir misin?

Daha sonra diğer beyaz karelerdeki sayıları yokedip,  istenen toplamı bulmaya çalış. 

İki veya daha fazla kümenin birleşimi ve arakesitinin eleman sayısı ilişkisi gibi bir şey yapmaya çalış.

---

Hocam bilinmeyen beyaz karelere harf vereyim mi ? 

---

Harf (sayı nedeniyle) yetmez. İndis ($x_1,x_2,\ldots,x_{26}$ gibi) kullanmayı dene.

(Düzeltme: 25 depil 26 tane dah beyaz kare varmış)

---

Hocam bu tip soru sınavda çıksa bu kadar uğraşıcak mıyız ? Dediklerinizi yapıyorum ancak köşegenlerle beraber 8 denklem oluşturdum. Tüm beyaz karelerdeki değerler için bir denklem oluştururken tüm beyaz karelere değer verecek miyiz ? Birde hocam bu 8 tane denklemi oluştururken yeşil karelerede değer verdim.

---

Sınavı boş ver, soruyu çözmeye çalış. 

Çözümü gördükten sonra denklem yazmadan da çözülebileceğini göreceksin.

Yeşil karedeki sayılara değer vermene gerek yok soruyu çözerken.

---

Hocam dediğiniz 6 denklemi yeşil karelerin olmadığı sütun ve satılardan oluşturdum. Tüm beyaz karelerle ilgili denklemide oluşturdum. Hocam yukarıdan soldan başlayıp sağa doğru sırasıyla beyaz karelere X1,X2,.....,X26 değerlerini verdim.

Oluşturduğum denklemler ;

X1+X4+a+e+d+X23+X26=7

X3+X6+b+e+c+X21+X24=7

X2+X5+f+e+g+X22+X25=7

X7+X8+a+f+b+X9+X10=7

X11+X12+X13+e+X14+X15+X16=7

X17+X18+c+g+d+X19+X20=7

X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18+X19+X20+X21+X22+X23+X24+X25+X26=32

X1+X2+X3+X4+X5+X6+X21+X22+X23+X24+X25+X26+a+b+c+d+f+g+3e=21

2a+4e+2b+2c+2d+2f+2g=10

a+2e+b+c+d+f+g=5

Hocam bundan sonra ne yapabilirim ? 

---

Son denklemde e nin katsayısı doğru mu?

Denklemlerde bir hata yapmış olmalısın. Satır sütun ve köşegen denklemlerinin hepsini topla 42 çıkar. bu denklemlerde e 4 kere diğer harfler(x ler hariç) 2 kere olacak.

Düzeltme:

Tüm bilinmeyenleri toplamını biliyorsun.

---

Hocam dediğiniz gibi diğer harflerin katsayısı 2 , e nin katsayısı 4 çıkıyor. Sonra her iki tarafı 2 ye böldüm yani sadeleştirdim ve a+2e+b+c+d+f+g=5 i elde ettim. 

Hocam devamında ne yapabilirim ?

---

X1+X4+a+e+d+X23+X26=7

X3+X6+b+e+c+X21+X24=7

X2+X5+f+e+g+X22+X25=7

X7+X8+a+f+b+X9+X10=7

X11+X12+X13+e+X14+X15+X16=7

X17+X18+c+g+d+X19+X20=7

denklemleri taraf tarafa toplanırsa :

$(x_1+\cdots+x_{26})+2a+2b+2c+2d+4e+2f=42$ olur.

Bir de

$x_1+\cdots+x_{26}+a+b+c+d+e+f=32$ olduğunu biliyoruz.

Gerisini sen tamamla.

---

Hocam anladım. Bundan sonra çıkarma işlemi yaparız. Sonucu buluruz. Hocam çok teşekkür ederim.

a+b+c+d+3e+f=42-32=10

Hocam tekrardan çok teşekkür ederim.

Answer 1

Şu sorudaki  3. örnekteki fonksiyon için 6 küme durumundaki formülü kullanacağız.

A: şekildeki 3. satırdaki sayıların kümesi

B: şekildeki 4. satırdaki sayıların kümesi

C: şekildeki 5. satırdaki sayıların kümesi

D: şekildeki 4. sütundaki sayıların kümesi

E: şekildeki sol yukarıdan sağ aşağıya köşegendeki sayıların kümesi

G: şekildeki sol aşağıdan sağ yukarıya köşegendeki sayıların kümesi

olsun. $F(X):\ X$ kümesindeki sayıların toplamı fonksiyonu olsun. 

($F(\emptyset)=0$ olur. Kısa olması için, $0$ olan terimleri yazmadım)

$\begin{align*}F(A\cup B\cup C\cup D\cup  E\cup G)&=F(A)+F(B)+F(C)+F(D)+F(E)+F(G)\\&-F(A\cap D)-F(C\cap D)-F(A\cap E)-F(A\cap F)-F(C\cap F)-F(C\cap G)\\&-F(B\cap E)-F(B\cap G)-F(B\cap D)-F(D\cap E)-F(D\cap F)-F(E\cap G)\\&+F(B\cap D\cap E)+F(B\cap D\cap G)+F(D\cap E\cap F)+F(B\cap D \cap G)\\&-F(B\cap D\cap E\cap G)\end{align*}$

$F(A)=F(B)=F(C)=F(D)=F(E)=F(G)=7$ idi.

$a,b,c,d,f,g$ sayıları 2 kümeye, $e$ sayısı 4 kümeye aittir.

Bunlar yerine yazılırsa:

$32=42-(a+b+c+d+6e+f+g)+(4e)-e$ elde edilir.

Buradan da $a+b+c+d+3e+f+g=10$ bulunur.

Comments

Aslında sorunun daha basit bir mantık ile çözümü de var, bu formülü bilmeye gerek yok.

Sadece (ve tüm) beyaz karelerden oluşan 3 satır, 1 sütün ve 2 köşegen var.

Herbirindeki sayıların toplamı 7 idi.

Ayrıca tüm beyaz karelerdeki sayıların toplamının 32 olduğu biliniyor.

Bu 3 satır, 1 sütun ve 2 köşegende bulunan tüm sayıları topladığımızda 42 buluyoruz ama bunlardan birden çoğuna ait olan sayılar bir kaç kez sayıldı ve bu da toplamı 10 arttırdı. 

$a,b,c,d,f$ ve $g$, 2 kez, $e$ ise 4 kez sayıldığı için, birden fazla sayılmaların toplamı 10 olur. 

Öyleyse $a+b+c+d+3e+f+g=10$ olmalıdır.

Answer 2

X1+X4+a+e+d+X23+X26=7

X3+X6+b+e+c+X21+X24=7

X2+X5+f+e+g+X22+X25=7

X7+X8+a+f+b+X9+X10=7

X11+X12+X13+e+X14+X15+X16=7

X17+X18+c+g+d+X19+X20=7

X1+X2+.....+X26+2a+2b+2c+2d+4e+2f+2g=42

X1+X2+.....+X26+a+b+c+d+e+f+g=32

X1+X2+....+X26+2a+2b+2c+2d+4e+2f+2g - (X1+X2+....+X26+a+b+c+d+e+f+g)=a+b+c+d+3e+f+g=42-32=10

a+b+c+d+3e+f+g=10