Sayısal Mantık Sorusu

0 beğenilme 0 beğenilmeme
317 kez görüntülendi

Aşağıda verilen 49 birimkareden oluşan şekle [-23,25] aralığındaki tüm tam sayılar, her biri farklı kareye yazılıcak şekilde yerleştirilecektir.

*Her satır, sütun ve köşegen üzerindeki sayıların toplamı birbirine eşittir.

*Yeşil boyalı karelerin içindeki sayıların toplamı 17 dir. 

Buna göre, a+b+c+d+f+g+3e toplamı kaçtır ? 

Cevap:10

Hocam ben şöyle düşündüm. O aralıktaki sayıların toplamı 24+25=49 dur. O zaman her satır, sütun ve köşegen üzerindeki sayıların toplamı 49:7=7 dir. Devamında nasıl bir yol izleyeceğimi bilmiyorum.


 image

9, Ağustos, 9 Orta Öğretim Matematik kategorisinde MuhammetSoyturk (63 puan) tarafından  soruldu
9, Ağustos, 9 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Beyaz karelerdeki sayıların toplamını bulabilir misin?

Hocam yeşil karelerin toplamı 17 olduğuna göre beyaz karelerin toplamı 49-17=32 olması lazım. Doğru mu düşünüyorum hocam ?

Dikkat edersen a,b,c,d,e,f birden çok satır,sütun veya köşegene ait olan karelerdeki sayılar.

Bundan bir denklem elde etmeye çalış.

Hocam pek anlayamadım. Nasıl denklem kurabilirim ? a+e+d=c+e+b gibi mi ? Hepsinin ortak noktası e olduğuna göre e den gideceğiz ama nasıl ?

Her (tamamen beyaz) satır ve sütun ve ii köşegen için (bilinmeyen beyaz karelerdeki sayıları da içeren) 6 denklem ve tüm beyaz karelerdeki değerler için de bir denklem, toplam 7 denklem yazabilir misin?

Daha sonra diğer beyaz karelerdeki sayıları yokedip,  istenen toplamı bulmaya çalış. 

İki veya daha fazla kümenin birleşimi ve arakesitinin eleman sayısı ilişkisi gibi bir şey yapmaya çalış.

Hocam bilinmeyen beyaz karelere harf vereyim mi ? 

Harf (sayı nedeniyle) yetmez. İndis ($x_1,x_2,\ldots,x_{26}$ gibi) kullanmayı dene.

(Düzeltme: 25 depil 26 tane dah beyaz kare varmış)

Hocam bu tip soru sınavda çıksa bu kadar uğraşıcak mıyız ? Dediklerinizi yapıyorum ancak köşegenlerle beraber 8 denklem oluşturdum. Tüm beyaz karelerdeki değerler için bir denklem oluştururken tüm beyaz karelere değer verecek miyiz ? Birde hocam bu 8 tane denklemi oluştururken yeşil karelerede değer verdim.

Sınavı boş ver, soruyu çözmeye çalış. 

Çözümü gördükten sonra denklem yazmadan da çözülebileceğini göreceksin.

Yeşil karedeki sayılara değer vermene gerek yok soruyu çözerken.

Hocam dediğiniz 6 denklemi yeşil karelerin olmadığı sütun ve satılardan oluşturdum. Tüm beyaz karelerle ilgili denklemide oluşturdum. Hocam yukarıdan soldan başlayıp sağa doğru sırasıyla beyaz karelere X1,X2,.....,X26 değerlerini verdim.

Oluşturduğum denklemler ;

X1+X4+a+e+d+X23+X26=7

X3+X6+b+e+c+X21+X24=7

X2+X5+f+e+g+X22+X25=7

X7+X8+a+f+b+X9+X10=7

X11+X12+X13+e+X14+X15+X16=7

X17+X18+c+g+d+X19+X20=7

X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18+X19+X20+X21+X22+X23+X24+X25+X26=32

X1+X2+X3+X4+X5+X6+X21+X22+X23+X24+X25+X26+a+b+c+d+f+g+3e=21

2a+4e+2b+2c+2d+2f+2g=10

a+2e+b+c+d+f+g=5

Hocam bundan sonra ne yapabilirim ? 

Son denklemde e nin katsayısı doğru mu?

Denklemlerde bir hata yapmış olmalısın. Satır sütun ve köşegen denklemlerinin hepsini topla 42 çıkar. bu denklemlerde e 4 kere diğer harfler(x ler hariç) 2 kere olacak.

Düzeltme:

Tüm bilinmeyenleri toplamını biliyorsun.


Hocam dediğiniz gibi diğer harflerin katsayısı 2 , e nin katsayısı 4 çıkıyor. Sonra her iki tarafı 2 ye böldüm yani sadeleştirdim ve a+2e+b+c+d+f+g=5 i elde ettim. 

Hocam devamında ne yapabilirim ?

X1+X4+a+e+d+X23+X26=7

X3+X6+b+e+c+X21+X24=7

X2+X5+f+e+g+X22+X25=7

X7+X8+a+f+b+X9+X10=7

X11+X12+X13+e+X14+X15+X16=7

X17+X18+c+g+d+X19+X20=7

denklemleri taraf tarafa toplanırsa :

$(x_1+\cdots+x_{26})+2a+2b+2c+2d+4e+2f=42$ olur.

Bir de

$x_1+\cdots+x_{26}+a+b+c+d+e+f=32$ olduğunu biliyoruz.

Gerisini sen tamamla.

Hocam anladım. Bundan sonra çıkarma işlemi yaparız. Sonucu buluruz. Hocam çok teşekkür ederim.

a+b+c+d+3e+f=42-32=10

Hocam tekrardan çok teşekkür ederim.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Şu sorudaki  3. örnekteki fonksiyon için 6 küme durumundaki formülü kullanacağız.

A: şekildeki 3. satırdaki sayıların kümesi

B: şekildeki 4. satırdaki sayıların kümesi

C: şekildeki 5. satırdaki sayıların kümesi

D: şekildeki 4. sütundaki sayıların kümesi

E: şekildeki sol yukarıdan sağ aşağıya köşegendeki sayıların kümesi

G: şekildeki sol aşağıdan sağ yukarıya köşegendeki sayıların kümesi

olsun. $F(X):\ X$ kümesindeki sayıların toplamı fonksiyonu olsun. 

($F(\emptyset)=0$ olur. Kısa olması için, $0$ olan terimleri yazmadım)

$\begin{align*}F(A\cup B\cup C\cup D\cup  E\cup G)&=F(A)+F(B)+F(C)+F(D)+F(E)+F(G)\\&-F(A\cap D)-F(C\cap D)-F(A\cap E)-F(A\cap F)-F(C\cap F)-F(C\cap G)\\&-F(B\cap E)-F(B\cap G)-F(B\cap D)-F(D\cap E)-F(D\cap F)-F(E\cap G)\\&+F(B\cap D\cap E)+F(B\cap D\cap G)+F(D\cap E\cap F)+F(B\cap D \cap G)\\&-F(B\cap D\cap E\cap G)\end{align*}$

$F(A)=F(B)=F(C)=F(D)=F(E)=F(G)=7$ idi.

$a,b,c,d,f,g$ sayıları 2 kümeye, $e$ sayısı 4 kümeye aittir.

Bunlar yerine yazılırsa:

$32=42-(a+b+c+d+6e+f+g)+(4e)-e$ elde edilir.

Buradan da $a+b+c+d+3e+f+g=10$ bulunur.


11, Ağustos, 11 DoganDonmez (4,244 puan) tarafından  cevaplandı
12, Ağustos, 12 MuhammetSoyturk tarafından seçilmiş

Aslında sorunun daha basit bir mantık ile çözümü de var, bu formülü bilmeye gerek yok.

Sadece (ve tüm) beyaz karelerden oluşan 3 satır, 1 sütün ve 2 köşegen var.

Herbirindeki sayıların toplamı 7 idi.

Ayrıca tüm beyaz karelerdeki sayıların toplamının 32 olduğu biliniyor.

Bu 3 satır, 1 sütun ve 2 köşegende bulunan tüm sayıları topladığımızda 42 buluyoruz ama bunlardan birden çoğuna ait olan sayılar bir kaç kez sayıldı ve bu da toplamı 10 arttırdı. 

$a,b,c,d,f$ ve $g$, 2 kez, $e$ ise 4 kez sayıldığı için, birden fazla sayılmaların toplamı 10 olur. 

Öyleyse $a+b+c+d+3e+f+g=10$ olmalıdır.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

X1+X4+a+e+d+X23+X26=7

X3+X6+b+e+c+X21+X24=7

X2+X5+f+e+g+X22+X25=7

X7+X8+a+f+b+X9+X10=7

X11+X12+X13+e+X14+X15+X16=7

X17+X18+c+g+d+X19+X20=7

X1+X2+.....+X26+2a+2b+2c+2d+4e+2f+2g=42

X1+X2+.....+X26+a+b+c+d+e+f+g=32

X1+X2+....+X26+2a+2b+2c+2d+4e+2f+2g - (X1+X2+....+X26+a+b+c+d+e+f+g)=a+b+c+d+3e+f+g=42-32=10

a+b+c+d+3e+f+g=10


10, Ağustos, 10 MuhammetSoyturk (63 puan) tarafından  cevaplandı
...