İddianın yanlış, yani (sonlu bir F cismi üzerinde) sonlu çoklukta indirgenemez polinom olduğunu varsayalım. Bunlara p1(x), p2(x),…, pn(x) diyelim. Burada, n≥1 olduğu, (çünki x indirgenemez bir polinomdur) biraz sonra gerekli olacak.
(n≥1 olduğu için) f(x)=p1(x)p2(x)⋯pn(x)+1 pozitif dereceli bir polinomdur.
Her pozitif dereceli polinomunu bölen (en az) bir indirgenemez polinom vardır (bu iddia, tümevarımla ispatlanabilir veya F[x] halkasının tek tip çarpanlar ayrılma bölgesi oluşundan görülür). p(x), f(x) i bölen bir indirgenemez bir polinom olsun.
p(x) polinomu, p1(x), p2(x),…, pn(x) polnomlarından biri olduğu için p(x), 1 polinomunu da böler. Çelişki. (Çünki indirgenemez polinom, tanımından dolayı, pozitif derecelidir)
Bu çelişki iddiamızı ispatlar.
(Buraya kadar aslında cismin sonlu olduğunu kullanmadık. Aslında, sonsuz cisimlerde sonsuz çoklukta indirgenemez polinomun varlığının ispatı çok daha kolaydır: Sonsuz bir cisim üzeride 1. dereceden sonsuz çoklukta polinom vardır, bunların tümü indirgenemezdir.)
Sonlu bir cisimde verilen bir sayıdan daha küçük dereceli polinomlar sonlu sayıda olduğu için indirgenemez polinomların dereceleri üstten sınırlı olamaz.