Homeomorfizmaya Dair-VII

0 beğenilme 0 beğenilmeme
41 kez görüntülendi

$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi; 

$\mathcal{U}^2,$  $\mathbb{R}^2$ kümesi üzerindeki alışılmış topoloji ve 

$\mathcal{U}^3,$  $\mathbb{R}^3$ kümesi üzerindeki alışılmış topoloji olmak üzere 

$(\mathbb{R}^2,\mathcal{U}^2)$ topolojik uzayının $(\mathbb{R}^3,\mathcal{U}^3)$ topolojik uzayına homeomorf olamayacağını ilgili sorudaki sonucu kullanarak gösteriniz.

bir cevap ile ilgili: Homeomorfizmaya Dair-V
10, Ocak, 10 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,442 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Önceki sorudaki kadar basit olmayan (bir teoreme gereksinim duyuyoruz) bir çözüm:

$f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ bir homeomorfizma olsun.

$S\subset \mathbb{R}^3$ bir çember olsun. $\mathbb{R}^3\setminus S$ in bağlantılı olduğunu göstermek zor değildir.

$f(S)$, $ \mathbb{R}^2$ nin çembere homeomorfik bir alt kümesi olduğundan Jordan ' ın ünlü eğri teoreminden $\mathbb{R}^2$ yi ikiye ayırır (tümleyeni bağlantılı değildir, iki bileşeni vardır).

Ama http://matkafasi.com/118240/homeomorfizmaya-dair-v?show=118246#a118246 

problemine göre, $f$ nin kısıtlaması, $\mathbb{R}^3\setminus S$ ile $\mathbb{R}^2\setminus f(S)$  (biri bağlantılı diğeri bağlantısız iki uzay) arasında  bir homeomorfizmadır. 

Bağlantılı olmak bir topolojik özellik olduğundan bu bir  çelişkidir.

Bu da iddiayı ispatlar.

10, Ocak, 10 DoganDonmez (3,980 puan) tarafından  cevaplandı
...