Homeomorfizmaya Dair-V

0 beğenilme 0 beğenilmeme
48 kez görüntülendi

$(X,\tau),(Y,\tau')$ topolojik uzaylar ve $f\in Y^X$ olmak üzere

$$f, \ (\tau\text{-}\tau') \text{ homeomorfizma}$$

$$\Rightarrow$$

$$ (\forall A\subseteq X)(g:X\setminus A\to Y\setminus f[A], \ g(x):=f(x), \  (\tau_{X\setminus A}\text{-}\tau'_{Y\setminus f[A]})\text{ homeomorfizma})$$ olduğunu gösteriniz.


İlk hali alttaki gibi olan soru, Doğan hocamın önerisine binaen üstteki gibi güncellenerek soru daha genel bir şekle dönüştürülmüştür.


$(X,\tau),(Y,\tau')$ topolojik uzaylar ve $f\in Y^X$ olmak üzere

$$f, \ (\tau\text{-}\tau') \text{ homeomorfizma}$$

$$\Rightarrow$$

$$ (\forall x\in X)(g:X\setminus\{x\}\to Y\setminus\{f(x)\}, \ g(x):=f(x), \  (\tau_{X\setminus\{x\}}\text{-}\tau'_{Y\setminus\{f(x)\}})\text{ homeomorfizma})$$ olduğunu gösteriniz.

8, Ocak, 8 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,114 puan) tarafından  soruldu
9, Ocak, 9 murad.ozkoc tarafından düzenlendi

Bu durum daha genel olarak herhangi bir alt küme için de geçerli olmaz mı?

Soruyu öneriniz doğrultusunda güncelledim hocam. Katkınız için teşekkür ederim.

"Elimizde homeomorfik uzaylar var diyelim. Bu uzaylardan birinden bir altküme çıkarsak, diğerinden de o altkümeye karşılık gelen altkümeyi çıkarsak, geriye kalan uzaylar indirgenmiş topolojileri ile homoemorfik olurlar". Soru bu dimi?


Evet soru bu. Soruyu Matematikçe(!) yazdım. Sizin yorumda yazdığınız da benim sorduğum sorunun Türkçesi.

Ben (eksik söylemişim) şunu demek istemiştim.

Soru ($A$ yerine $X\setminus A$ yazılarak) (alt uzay topolojileri ile)

"Her $A\subseteq X$ için $g=f_{\mid A}:A\to f(A)$ bir homeomorfizmadır" 

şeklinde biraz daha kısa yazılabilir. 

Doğan hocam sizin de yorumunuzda ifade ettiğiniz gibi soruyu çok daha sade bir şekilde sorabilirdim.  Ancak soruyu sorarken aklımda hep buradaki soruya bir ön hazırlık olması düşüncesi olduğundan $g:A\to f[A]$ yerine $g:X\setminus A\to Y\setminus f[A]$ yazmaktan kendimi alıkoyamamışım. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$$g(x):=f(x)$$ kuralı ile verilen $$g:X\setminus A\to Y\setminus f[A]$$ fonksiyonunun $(\tau_{X\setminus A}\text{-}\tau'_{Y\setminus f[A]})$ homeomorfizma olduğunu göstermek için $g$ fonksiyonunun 

1. bijektif, 

2. $(\tau_{X\setminus A}\text{-}\tau'_{Y\setminus f[A]})$ sürekli, 

3. $(\tau_{X\setminus A}\text{-}\tau'_{Y\setminus f[A]})$ açık 

olduğunu göstermeliyiz.


1. $f$ fonksiyonu $(\tau\text{-}\tau')$ homeomorfizma olduğundan $f$ fonksiyonu bijektiftir. Dolayısıyla $g(x):=f(x)$ kuralı ile verilen $g:X\setminus A\to Y\setminus f[A]$ fonksiyonunun bijektif olduğunu görmek zor olmasa gerek.


2. $g$ fonksiyonunun $(\tau_{X\setminus A}\text{-}\tau'_{Y\setminus f[A]})$ sürekli olduğunu gösterelim.

$V\in\tau'_{Y\setminus f[A]}$ olsun. $(g^{-1}[V]\in\tau_{X\setminus A}$ olduğunu göstermeliyiz$)$


$\left.\begin{array}{rrr} V\in\tau'_{Y\setminus f[A]}\Rightarrow (\exists T\in\tau')(V=T\cap (Y\setminus f[A])) \\ \\ f, \ (\tau\text{-}\tau') \text{ homeomorfizma} \\ \\ g:X\setminus A\to Y\setminus f[A], \ g(x):=f(x) \end{array}\right\}\Rightarrow $


$\Rightarrow (f^{-1}[T]\in\tau)(g^{-1}[V]=f^{-1}[V]=f^{-1}[T\cap (Y\setminus f[A])]=f^{-1}[T]\cap f^{-1}[(Y\setminus f[A])])=f^{-1}[T]\cap (X\setminus f^{-1}[f[A]])=f^{-1}[T]\cap (X\setminus A))$


$\Rightarrow g^{-1}[V]\in\tau_{X\setminus A}.$


3. $g$ fonksiyonunun $(\tau_{X\setminus A}\text{-}\tau'_{Y\setminus f[A]})$ açık olduğunu gösterelim.

$U\in\tau_{X\setminus A}$ olsun. $(g[U]\in\tau_{Y\setminus f[A]}$ olduğunu göstermeliyiz$)$


$\left.\begin{array}{rrr} U\in\tau_{X\setminus A} \Rightarrow (\exists T\in\tau)(U=T\cap (X\setminus A)) \\ \\ f, \ (\tau\text{-}\tau') \text{ homeomorfizma} \\ \\ g:X\setminus A\to Y\setminus f[A], \ g(x):=f(x) \end{array}\right\}\Rightarrow $


$\Rightarrow (f[T]\in\tau')(g[U]=f[U]=f[T\cap (X\setminus A)]=f[T]\cap f[X\setminus A]=f[T]\cap (f[X]\setminus f[A])=f[T]\cap (Y\setminus f[A]))$


$\Rightarrow g[U]\in\tau'_{Y\setminus f[A]}.$

9, Ocak, 9 murad.ozkoc (9,114 puan) tarafından  cevaplandı
9, Ocak, 9 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
Homeomorfizmaya Dair-VI
Homeomorfizmaya Dair-VII
...