Sonlu bir $F$ cisminin derecesi $2$ olan bir genişlemesi vardır.

Question

Sonlu cisimler için sağlanan temel savlar aracılığıyla bu iddiayı ispatlamak gayet kolay tabii ki. Diğer taraftan bu savları kullanmadan bu genişlemeyi nasıl elde edebiliriz? Daha özel manada bu genişlemeyi nasıl 'inşa' edebiliriz?

Answer 1

Karakteristik 2 değilse kolay:

$x\mapsto x^2$ 1-1 değildir ($\pm1\mapsto 1$) öyleyse örten değildir. $a$ tam kare olmasın, $x^2-a$ indirgenemez olur, $F[x]/(x^2-a)$ cismi $F$ nin 2. derece bir genişlemesidir.

$F=\mathbb{Z}_2$ için $x^2+x+1$ indirgenemezdir ama diğerleri için bulamadım.

Comments

Aslinda tum $2^{tek}$ icin indirgenemez. Indigenir olmasi icin $\mathbb{F}_4$'yi icermesi gerekir. Zaten sikintiyi da genelde cift kuvvetler getiriyor bu $\mathbb{F}_2$'da, cok cilesini cekiyoruz.

Answer 2

http://matkafasi.com/945/%24x-2-x-1%24in-indirgenemez-oldugu-sonlu-cisimler

Bu soru icin bu da okunabilir. Ne kadar az bilgi kullanabiliriz. Bilmiyoum ama 2.dereceden bir indirgemez polinom oldugunu gostermeyi kullanabilirsek, cok daha sonralari ipatlanan (Finite Fields kitabinda) bir teorem var. Ispati da sonlu cisimlerin genel bilgilerini kullanmiyor ve cok sey acikliyor.

Tum sonlu cisimler $\mathbb{F}_q$ ve $n$ icin, derecesi $n$'yi bolen ve $n$'den kucuk esit olan tum indirgenemez polinomlarin carpimi $x^{q^n}-x$'tir.

Burda 2 icin: derecesi 2 olanlarin indirgenmezlerin carpimi $\frac{x^{q^2}-x}{x^q-x}$tir. Yani kesin boyle bir indirgenemez polinom var. Bu tum sayilar icin gecerli, 2 sart degil.

Hatta biliyoruz ki, tum 2.dereceden indirgenemezler $\frac{x^{q^2}-x}{x^q-x}$'i bolecek ve her bolenin derecesi 2 ve dahasi bunlardan baska derecesi 2 olan yok. Tum degisik insalari burda bulabiliriz.

Answer 3

Eger $p=4k+3$ ise $-1$ bir kare degildir ve $\mathbb{F}_p[X]/(X^2+1)$ cismi $\mathbb{F}_p$ cisminin derecesi iki olan bir genislemesidir.