Çarpımsal grupları sonlu üretilmiş olan tüm $F$ cisimlerini belirleyin.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
119 kez görüntülendi

çarpımsal grup: multiplicative group, sonlu üretilmiş: finitely generated.

19, Şubat, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Enis (1,072 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$F$, carpimsal grubu sonlu uretecli olacan bir cisim olsun. Her abelyen grup bir $\mathbb{Z}$ moduludur. Bu nedenle her cismin carpimsal grubu bir $\mathbb{Z}$ moduludur: $$\mathbb{Z}\times F^{\times}\longrightarrow F^{\times}$$ $$(n,x)\longmapsto x^n$$

Yardimci teorem: Tek carpanlama bolgesi uzerine sonlu uretecli bir modulun altmodulleri de sonludur. 

Ispat: Bkz. Lang'in Algebra kitabi.


Iddia: $F$ cisminin karakteri sifir olamaz.

Kanit: Eger sifir olsaydi $\mathbb{Q}$ cismi $F$ cisminin altcismi olurdu. Yardimci teorem geregi $\mathbb{Q}-\{0\}$ sonlu uretecli bir $\mathbb{Z}$ modul olmalidir. Ama bu $\mathbb{Q}-\{0\}$ carpimsal grubunun sonlu uretecli olmasi demektir ki, bunun dogru olmadigini biliyoruz. O halde $F$ cisminin karakteri sifir olamaz.


Yardimci teorem: Sonlu uretecli degismeli bir grup $$\mathbb{Z}^n\oplus \Big(\bigoplus_{i=1}^k \mathbb{Z}/q_i\mathbb{Z}\Big)$$ bicimindedir.

Ispat: Ayni kaynak.


$F^{\times}$ ile $\mathbb{Z}^n\oplus \Big(\bigoplus_{i=1}^k \mathbb{Z}/q_i\mathbb{Z}\Big)$ arasinda kurulan izomorfizmada $\Big(\bigoplus_{i=1}^k \mathbb{Z}/q_i\mathbb{Z}\Big)$ grubunun ongoruntusu sonlu oldugu icin dongusel olmak zorundadir. O halde $F^{\times}$ carpimsal grubunun $$\mathbb{Z}^n\oplus \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$$ formatinda oldugunu bulduk. $F^{\times}$ icinde $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ kismina denk gelen elemanlar, mertebesi sonlu olan elemanlar. Bu elemanlarin olusuturdugu kumeye $0$ elemanini eklersek sonlu bir cisim elde ederiz. (not: iki elemanin toplaminin da burada oldugunu gostermek icin karakteristigin $p$ oldugunu kullanmak gerekir). Simdi elimizde $F$ cisminin icince kalan ve carpimsal grubu $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ olan bir $K$ sonlu cismi var. Demek ki $F$ cismimiz $K$ cismimizin genislemesi. Simdi $a\in F^{\times}$ mertebesi sonlu olmayan bir eleman olsun. Bu durumda bu $a$ elemani $K$ uzerine cebirsel olamaz. Cunku cebirsel olsaydi, $K(a)$ sonlu bir cisim olurdu ve $a$ elemaninin derecesi sonlu olurdu. O halde $a$ elemani $K$ uzerine askin. Yani $K(a)$ cismi $K(X)$ fonksiyon cismine izomorf olmak zorunda.

Iddia: $K(X)^{\times}$ sonlu uretecli degildir. Diyelim ki $$\frac{f_1(X)}{g_1(X)},\cdots,\frac{f_r(X)}{g_r(X)}\subseteq K(X)^{\times}$$ uretec bir kume olsun. $K$ uzerine sonsuz coklukta indirgenemez polinom oldugu icin, hicbir $f_i$ ya da $g_i$nin boleni olmayan indirgenemez bir $h(X)$ polinomu vardir. Acik ki boyle bir eleman $\frac{f_i}{g_i}$lerin carpimi olamaz. O halde $n=0$ olmak zorundadir.


Sonuc: $F$ sonlu bir cisimdir.

19, Şubat, 2015 Safak Ozden (3,384 puan) tarafından  cevaplandı
19, Şubat, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi

http://en.wikipedia.org/wiki/Mazur%27s_torsion_theorem

Bu ikinci yardimci teoremden sonra neden sag taraf dongusel olmak zorunda, aciklayabilir misin vakit bulabilirsen? Bir de aklima linkteki teorem geldi, onu da paylasmak istedim.

(Soruyu ogrenmek amacli soruyorum.)

Cunku sag tarafin $F^{\times}$ icindeki goruntusu sonlu bir altgrup. Bir cismin carpimsal grubunun sonlu altgrubu da dongusel olmak zorunda. O halde sag taraf dongusel olmak zorunda. Kullandigim savin ispati da soyle:


Oncelikle sonlu altgrup abelyen oldugu icin $$Z=\bigoplus_{i=1}^k\big(\bigoplus_{j=1}^{k_i} \mathbb{Z}/p^{n_{ij}}_i\mathbb{Z}\big)$$ bicmindedir. Burada $p_i$ler asal ve indeksleri farkliysa farklilar, $n_j>0$. Eger $k_i$ tamsayilarindan en az birisi birden buyukse $Z$ dongusel olamaz ve her $k_i=1$ ise $Z$ donguseldir. O halde, diyelim ki $k_1>1$ olsun. Bu durumda $$\bigoplus_{j=1}^{k_1} \mathbb{Z}/p^{n_{1j}}_1\mathbb{Z}$$ Grubunun eleman sayisi $p_1^{\sum n_{1j}}(\gneq p^{\max{n_{1i}}})$ olur. Ama acik ki $Z$ grubunun elemanlarinin $p^{\max{n_{1i}}}$inci gucleri etkisiz eleman. Yani $Z$nin elemanlarina $F^{\times}$ icinde gelen elamanlar $$f(X)=X^{p^{\max{n_{1i}}}}-1$$ polinomunun koku. Bundan sonrasi polinomun derecesinden fazla koku olmaz bilgisinden cikar, cunku $Z$'nin $f(X)$'in derecesinden fazla elemani var. Celiski. 

ikinci cumle yetti. Tesekkur ederim.

Ulen bosu bosuna yazdik desene:)

Hatta biraz once, ikinci cumleyi soru olarak yazayim mi diye aklimdan geciyordu :) iste aklin bize oynadigi oyunlar :) o degilde, sonrasini okumamistim ama okuyacam, bosa gitmesin :)

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir önceki kanıtın aynısı ama sanırım biraz daha kısa. Sav: Sadece sonlu cisimler bu özelliğe sahiptirler.

$F$'nin altcisimlerinin de aynı özelliği vardır. Çünkü sonlu eleman tarafından üretilmiş bir abel grubunun altgrupları da sonlu eleman tarafından üretilmiştir. (Referans: Herhangi bir cebir kitabı ya da https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/cebir.pdf, sayfa 218, Sonuç 13.12.) Buradan cismin karakteristiğinin 0 olamayacağı çıkar, çünkü (sonsuz sayıda asalın varlığından dolayı) $\mathbb{Q}^*$ sonlu üreteçli değildir. Cismin karakteristiğine $p$ diyelim.

$F^*$ grubunun burulmalı elemanları (ki bunlardan sonlu sayıda var) $\mathbb{F}_p$ üzerine cebirsel olduklarından, bu elemanların kümesine 0 eklersek, bir altcisim buluruz: $\mathbb{F}_p$'nin $F$'deki cebirsel kapanışı. Bu cisim sonludur. Diyelim $\mathbb{F}_q$. Eğer varsa, bir $x\in F \setminus \mathbb{F}_q$ alalım. $\mathbb{F}_q(x)$ altcisminin de aynı özelliği olması lazım. Ama $x$, $\mathbb{F}_q$ üzerine aşkın olduğundan, $\mathbb{F}_q(x) \simeq \mathbb{F}_q(T)$. (Polinom bölü polinomlardan oluşan cisim.) Ama aynen $\mathbb{Q}$ için olduğu gibi ($\mathbb{F}_q[T]$'de çok fazla asal) $\mathbb{F}_q(T)^*$ sonlu eleman tarafından üretilemez. Çelişki. Demek ki $F = \mathbb{F}_q$.

19, Şubat, 2015 anesin (710 puan) tarafından  cevaplandı
20, Şubat, 2015 anesin tarafından düzenlendi
...