Homomorfizma, Izomorfizma

0 beğenilme 0 beğenilmeme
229 kez görüntülendi
Kitapta soyle bir soru var. Cevap ile ilgili degil de sorunun kendisinin yanis oldugunu dusunuyorum bana hak veren var mi? Soru su;

f:Z-->C (yani tam sayilardan kompleks sayilara giden) ve f(n)= i^n ile tanimlanan bir homomorfizma olsun. ve 

f" : Z/4Z -----> <i>( burda <i> cyclic dedikleri periodik grup...)  bu da f ile iliskilendirilmis izomorfizma olsun. Buna gore assagidakilerden hangileri dogrudur diyor.. Gerekirse onlari da yazarim..

Fakat soruyla ilgili sorunum su:

Simdi bir kere f grup homomorfizmasi gibi durmuyor. Burda Z grubunu toplam altinda alirsak her x,y elemanidir Z icin f(x+y)=f(x)+f(y) olmali ki her x,y icin i^(x+y)=(i^x)+(i^y) olmuyor. 
Eger Z grubunu carpim altinda alirsak her x,y elemanidir Z icin f(xy)=f(x)f(y) olmali ki her x,y icin i^(xy)=
(i^x).(i^y)=i^(x+y) olmuyor.

2. kisima gelirsek f":Z/4Z -----> <i>  demek f":{4Z,4Z+1,4Z+2,4Z+3}-------->{i,-1,1,-i,-1/i,1/i}
Simdi bir kere bu fonksyon tam bire bir olamaz ki 4 eleman 6 elemana gidiyor. Ek olarak zaten bu fonksyon injective degil. f"(4Z+1)=i     0,1,2... elemanidir Z icin ve f"(4Z+1)= -1/i        ...,-2,-1 elemanidir Z icin...

Bu konuda yardim edebilecek olursa cok minnettar kalacagim...
6, Kasım, 2017 Lisans Matematik kategorisinde smb16mc (25 puan) tarafından  soruldu
Tam sayıları toplama, kompleks sayıları da çarpma işlemine göre al.

$-\frac{1}{i}=i$ olmaz mı? 

Tamam benim hatam o aklima geldi de tanimi unutmusum tam olarak

Aslında, soruda $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{C}^*$ dense daha iyi olur (yanlış anlama olmazdı).

Çünki kastedilen işlem çarpma ama $(\mathbb{C},\cdot)$ bir grup değil, grup olan $(\mathbb{C}^*,\cdot)$ . ($\mathbb{C}^*=\mathbb{C}\setminus\{0\}$)

Soruda verilen f in grup homorfizmasi olduguna ikna oldum ama hala surda sikintim var

f"(4Z+1)=i  0 ve pozitif tam sayilar icin fakat negatif tam sayilar icin f"(4Z+1)= -1/i. Yani izomorfizmayi Z/4Z degil de N/4N olarak tanimlasa tamam ama  f" nun hem i hem -1/i oldugu bir izomorfizma nasil olabilir ki. -1/i=i nasil oluyor...

...