Bölüm halkalarında izomorfizma

1 beğenilme 0 beğenilmeme
156 kez görüntülendi

Bunu bi türlü anlayamadim.  mesela sorum $12\Bbb Z/\Bbb 84 \Bbb Z$ bölüm halkası kaç elemana sahiptir?

bunun neye izomorf oldugunu söyleyebiliriz  $12\Bbb Z/\Bbb 84 \Bbb Z \cong \Bbb Z/\Bbb Z7\cong \Bbb Z_7$ olduğunu söyleyebilir miyiz? burada yaptıgım işlem normal sadeleştirme 

bir baska soru $(\Bbb 6Z+9\Bbb Z)/6\Bbb Z$ kaç elemanı vardır? 

$(\Bbb 6Z+9\Bbb Z)/6\Bbb Z= 3\Bbb Z/6\Bbb Z\cong \Bbb Z/2\Bbb Z\cong \Bbb Z_2$ 2 elemanlı

aynı işlemi $4\Bbb Z$ nin $2\Bbb Z$ in asal ideali olup olmadığını incelemeye çalışırken yaptığımda

$2\Bbb Z /4\Bbb Z\cong \Bbb Z/2\Bbb Z\cong \Bbb Z_2$ çıkıyo. $\Bbb Z_2$ bir  tamlık bölgesi oldugundan $4\Bbb Z$ nin $2\Bbb Z$ asal ideali oldugu sonucu cikiyo ama bu yanlis.$2\in 2\Bbb Z,2.2\in 4\Bbb Z$ ama $2\notin 4\Bbb Z$ yani asal ideali degil.

Sorum; benim yaptığım şekilde bir izomorfizma yanlış mıdır? buna benzer bi izomorf. olusturabilir miyim aşagidaki tarzdaki soruları çözebilmek için?

Hangisi $3\Bbb Z$ nin asal idealidir? $42\Bbb Z,24\Bbb Z,12\Bbb Z,9\Bbb Z,33\Bbb Z$


21, Ağustos, 2015 Lisans Matematik kategorisinde hayati (76 puan) tarafından  soruldu

$R/I=\{a+I\mid a\in R\}$ şeklindedir. Ayrıca $a+I=0+I$ ancak ve ancak $a\in I$. Yukarıdaki izomorfizmalardan önce kümeleri bulmaya çalışın. Sonrası kolay. Cevabı sizden bekliyorum $12\Bbb{Z}/84\Bbb{Z}=?$

$a,b\in R$ için $a\sim b\Longleftrightarrow a-b\in I$ ise. Bu bağıntı bir denklik bağıntısı ve $a+I$ denklik Sınıfları. Önce buradan başlayabilirsin. Yani denklik bağıntısı mı ve Sınıflar neler?
zaten anlamadıgım yer de tam burası. mesela  $3\Bbb Z/12\Bbb Z=\{0+12\Bbb Z,3+12\Bbb Z, 6+12\Bbb Z,9+12\Bbb Z\}$  oldugundan $\Bbb Z_4$ e izomorf olur düsünceme göre

Şimdi $12\Bbb{Z}/84\Bbb{Z}$ halkasını belirleyiniz.

<p> aynı şekilde yapinca Z_7 izomorf oluyo ama olmamasi lazım
</p>

evet yaptıgım izomorfizmlerin hepsi yanlis 1_R yok hiçbirinde

$3\Bbb{Z}/12\Bbb{Z}$ bölüm halkası birimli ve birimi $9+12\Bbb{Z}$ elemanıdır. 

Bölüm halkalarının elemanlarını bulabiliyor muyuz? $12\Bbb{Z}/84\Bbb{Z}$ halkasının elemanlarını bulabildik mi? (gecen hafta cepten yazmak zorunda kalmıştım; şimdi daha müsaitim)

bu soruyu unutmusum tamamen . sorunumun ne oldugunu da unuttum. galiba izomorfizma olusturamamakla alakalı. halkalarımızın ikisi de birimli degismeli aynı sayıda elemana sahip ama bunu yapamiyoruz $2\Bbb Z 4\Bbb Z\cong\Bbb Z 2\Bbb Z\cong \Bbb Z_2$  bu galiba 2Z nin birimli bi halka olmamasından. bu kurallar sadece birimli halkalarda olabilir diye yorumlamıştım. Bu izomorfizmayi olustururken zannedersem 2 ve 3. izomorfizma teo. kullanılıyo.

en sonunda da asal idealleri inceledigimizde su cikiyo mesela $n\Bbb Z $ nin asal idealleri $np \Bbb Z$ şeklinde olmalı  p asal ve $p\neq n$ 

Sorunla dertlendiğinde buraya yazıver, tartışalım olur mu?

Ne demek şimdi bu? gülmem mi gerekiyor

...