Türevin tanımı ve geometrik anlamı

1 beğenilme 0 beğenilmeme
297 kez görüntülendi

 Burada yapmak istediğim türev tanımını ve geometrik anlamını yazıp siteye eklemek olacaktır bilenler adına ek bir bilgi olmayacaktır bir soru değildir.

 $f(x)$, $f$ fonksiyonun bir kuralı olsun ve verilen bir aralıkta olsun. Buna göre $x$'in verilen aralıkta her bir değerine karşılık olarak $y=f(x)$ fonksiyonunun değeri vardır.

 Şimdi ise şöyle bir işlem yapalım; $x$'e artı olarak istediğimiz bir değer verelim ve buna $\Delta x$ diyelim buna göre yukarıdaki tanımdan $x$'de bir değer verip fonksiyonda bir değere ulaşıyorsak aynı şekilde $\Delta x$'de de başka bir fonksiyon değerine ulaşırız buna da $\Delta y$'de bir artım deriz.

 Buna göre biz biliyoruz ki $y=f(x)$'di buradan da $=$

$y+\Delta y$=$f(x+\Delta x)$,

 Burada $\Delta y$'yi yalnız bırakalım $=$

$\Delta y$=$f(x+\Delta x)$-$y$ ve biz biliyoruz $y=f(x)$'di.

$\Delta y$=$f(x+\Delta x)$-$f(x)$ olur her iki tarafı da $\Delta x$'e orantılarız $=$

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$=$\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$, ve bu oranın $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ halindeki limitine bakılır.

İfade ederken de $=$

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ $\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ $=$ $y'$ $=$ $\dfrac{dy}{dx}$ denebilir bunun çözüm açısından hiçbir farkı yoktur.

 Sonuç olarak türeve bir $x$ noktasında eğim bulma işlemine denir. Geometrik olarak da $=$

image

 Bu tarz bir gösterim mevcuttur buradan eğim $tan(\beta)$ $=$ $\dfrac{dy}{dx}$, bir kaç polinom ifadede türev alalım $f(x)=x^3$ diyebiliriz buradan kolayca $f'(x)=3x^2$ deriz bunu bir de $f(x)$'i tanıma koyarak bulalım $=$

$y+\Delta y$ $=$ $(x+\Delta x)^3$, 

$\Delta y$ $=$ $(x+\Delta x)^3$ $-$ $x^3$ deriz

$\Delta y$ $=$ $(x^3+3x^2.\Delta x+3x.\Delta x^2+\Delta x^3)-(x^3)$

$\Delta y$ $=$ $(3x^2.\Delta x+3x.\Delta x^2+\Delta x^3)$

Dediğimiz gibi $\Delta x$'e orantılayalım $=$

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ $=$ $3x^2+3x.\Delta x+\Delta x^2$

$y'$ $=$ $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ $3x^2+3x.\Delta x+\Delta x^2$

$=$ $3x^2$

20, Ekim, 2017 Lisans Matematik kategorisinde Arda Kılıç (51 puan) tarafından  soruldu
20, Ekim, 2017 Arda Kılıç tarafından düzenlendi

Önce bir düzeltme yapmak isterim. $f(x)$ bir fonksiyon değil $f$ fonksiyonunun kuralıdır. İkincisi fonksiyonun tanım kümesi illa ki bir aralık olmak zorunda mıdır? Buradaki açıklamalara bir göz atmanız faydalı olacaktır.

Hocam dediğiniz düzeltmeyi yaptım, fakat bir sorum var çalıştığım kitapta gördüm ve attığınız linkte de olduğu gibi; bir aralık veriliyorsa gibi başlangıçlar vardı tanımı için. Sorum şu bir tanım aralığı olmazsa ona tanımsız demez miyiz ?

Boyle bir seye neden gerek duydunuz? Bunlar gayet iyi bilinen ve ulasilabilen turden bilgiler.

Hocam onu da şöyle açıklıyorum; hani bazı sitelerde görüyoruz ya böyle geometrik, tanım ve örnek olarak ben de bu siteye yönelim olsun diye yazdım fakat kaldıra da bilirim fark etmez tabii.

Bir öneride bulunabilir miyim? Bu şekilde konuyu baştan sonra açıklamak yerine (bu arada +1:)), bu açıklamaları cevap olarak verebileceğimiz sorular sorabilirsiniz, yani mesela $f(x)=x^n$ turevinin $f'(x)=nx^{n-1}$ olduğunu türevin tanımından faydalanarak ve geometrik anlamını açıklayarak gösteriniz. Böyle olunca mesela iki gün verirsiniz cevaplanması için (örnek) sonra siz cevaplarsiniz ve başkaları da bilgilerini paylaşır 3-4 cevap bir anda, güzel olur bence:)

Evet çok iyi olur bu sıralarda böyle bir şey yapabilirim, teşekkür ederim güzel önerin için :)

:)                       

...