Question

Gram-Schmidt ortogonaleştirme yönteminin geometrik anlamı nedir ?

Comments

Bir dusunceniz yok mu?

---

vektör kümesindeki vektörleri ortanormalleştiriyoruz yani boyu 1 ve herbiri biribirine dik vektörler elde ediyoruz.ama bunu geometrik olarak neden yapyoruz ne işimize yarıyor yaptığımız işlemlerin anlamı ney bilmiyorum 

---

Orthogonal bir taban elde ediyoruz böylece, ayrıca her sonlu boyutlu vektör uzayının orthogonal bir tabanının olduğunu da göstermiş oluyoruz.

Geometrik olarak, tabanın orthogonal olması daha 'güzel' değil mi? $\mathbb{R^2}$'yi ya da $\mathbb{R^3}$'ü düşün mesela. Bi rastgele bir taban olmak var, bir de dik taban olmak var. :)

---

evet bencede peki taban vektörlerini boyunun 1 olması ve birbirine dik olması benim ne işime yarıyor ? yani neden kullanıyorum ben bu yöntemi

---

evet bende standart tabanları seviyorum... peki yöntemi uygularken u1=v1 alıyoruz daha sonra u2 yi bulamak için v2 den neden çıkartıyoruz ve neden v2 ile u1 iç çarpımını alıyoruz. işin içinde bir izdüşüm varmış gibi geliyor ama tam çıkartamıyorum

---

Geometrik olarak yorumuna hocanızla baktınız mı? Orogonalleştirme yaparken iç çarpım yapiyoruz. İç çarpımın geometrik anlamı bi vektorün bir vektör üzerine izdüşümü.  

Açıklarsanız sevinirim.  

Answer 1

Vektörlerin ortogonal olması hesaplarımızı da oldukça kolaylaştırır (hatta ortonormal olması daha da kolaylaştırır). Örneğin bu vektörlerle Öklid iç çarpımı yapacaksak birbirine dik olanların çarpımı sıfır olacağından hesap daha kolaydır ya da herhangi taban vektörleri yerine ortonormal taban vektörleri kullanmak bu sebeple işimize gelir. Geometride örneğin 3-boyutlu uzayda biribirine dik olan 3 vektör bir sağ sistem, ${i,j,k}$ oluşturur. Yani anlayacağınız bir çatı oluşturur. Örneğin diferensiyel geometride kullanılan ${T,N,B}$ Frenet vektörleri gibi. Bu anlamda da Gram-Schmidt metodu önem arzeder. $E_1=x'$ olsun. Metoda göre  $E_2=x''-((<x'',E_1>/(<E_1,E_1>)). E_1$ olacaktır. Burada$-$ işaretinden sonraki kısım $x''$ türevinin $E_1=x'$ türevi üzerine dik izdüşümüdür. $E_3$ ü bulurken de $E_1$  ve  $E_2$  nin gerdiği düzleme $x'''$ nün dik izdüşümü alınır. Birisi doğru üzerindeki dik izdüşüm, diğeri düzlem üzerindeki dik izdüşüm oluyor. $E_4$ ü bulurken de bunu 3-boyutlu uzaya iz düşürüyoruz. Bu proseste vektörlerin boyları birim ise işimiz daha da kolaylaşıyor.

Comments

çok teşekkür ederim 

---

Birsey degil.

Answer 2

Geometrik Anlamını gif olarak ekledim. 

Comments

Bunu $n=4$ alıp bilgisayarda çizdiremeyiz değil mi?

---

@Geometri, Matkafasi sitesine hos geldiniz. Lutfen cevaplarimizi aciklamali olarak da ifade etmeye calisalim. Bu gif bize neler anlatiyor, ne anlamamiz gerekli, bunu nasil daha genis boyutta gorebiliriz. Bunlari da ekleyebilir misiniz?

---

4 boyutlu çizdiremeyiz hocam. 

Answer 3

Geometrik anlamini bilmiyorum ama $A$ bir matris olmak uzere, $A=QR$ faktorizasyonunda kullanilir mesala. $Q$ ortagonal matris ve $R$ ust ucgensel matris. $Q$ nun sutunlari, $A$ nin sutunlarina Gram-Shchmidt uygulayarak elde ettigin ortagonal vectorlerden olusur. Peki ortagonal matris niye onemli? Cunku, eger bir $Q$ matrisi ortogonal ise $Q^{-1}=Q^T$ olur yani ortogonal matrisin tersi transpozuna esittir. Bu cok onemli mi? Eger matris cok buyukse, ne demek cok buyuk,  mesela 100,000x100,000  veya 1,000,000x1,000,000 ise, matrisin tersini bulmak cok masrafli ama transpozunu almak cok kolay..

Comments

yani matrisin tersini almamızı kolaylaştırıyor. teşekkür ederim yardımınız için aradığım cevaplardan biri buydu 

---

teşekkür ederim. Gram schmidt yöntemini baya araştırdım ama bir türlü geometrik anlamını bulamadım.evet vektörleri birbirine dik hale getiriyoruz ve boyları 1 br oluyor fakat bu yöntemi kullanırken kullandığımız basamakların anlamı ney ? hocam izdüşümle alakalı araştır dedi ama ben hala bulamadım 

---

http://www.google.com/search?q=gram+schmidt&prmd=ivnsb&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiCj72s78nQAhWDLmMKHa_gAd0Q_AUIBigB#mhpiv=1

Proj  anlamı izdusumu (projection =izdusum)

---

https://m.youtube.com/watch?v=TRktLuAktBQ

Video ingilizce ama güzel açıklamış

http://www.google.com/search?q=gram+schmidt&prmd=ivnsb&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjKnaGw8MnQAhUO0GMKHSJgCxoQ_AUIBigB#mhpiv=16