İrrasyonel Sayı

Question

$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}$ sayısının irrasyonel olduğunu göstermek istiyorum. Her iki tarafın karesini alarak göstermeye çalıştım fakat başaramadım. $x=\sqrt{2}$  olsa kolay. $\sqrt{2}=p/q$ şeklinde rasyonel olsun der ve kare alıp çelişkiye düşeriz. Ne yapmalıyım?

Comments

Ipucu: Rasyonel bir sayının karesi de rasyoneldir.

---

Bu sorunun kopyasi/benzeri sayilabilir. Bu nedenle bu soruya ve cevabina bakabilirsiniz.

Answer 1

Önce bu ispata başlamadan önce $\sqrt{3}$ veya $\sqrt{5}$ sayısının irrasyonel olduğunu göstermeliyiz.

Ben $\sqrt{3}$'ün irrasyonelliğinin ispatını daha kolay gördüm bu sebepten ötürü $\sqrt{3}$ ile başlayacağım:

Aynen $\sqrt{2}$'de oldupu gibi $\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}$ yazalım

Karesini alalım; $\dfrac{p^2}{q^2}=3$ olur

$3q^2=p^2$ olur. Bu eşitliğin sağlanabilmesi için sol ve sağ tarafların tek olması gerekir çünkü sol tarafta tek olan bir çarpan mevcuttur... (burada $p$ ve $q$ nun aralarında asal olduğu ve ikisinin de tamkare olduğunu dikkate alarak bu sonuca ulaştım)

O zaman $p=2n+1$ ve $q=2k+1$ diyelim

$3.(4k^2+4k+1)=(4n^2+4n+1)$ olur, şimdi biraz düzenleme yapılacak olursa elimizdeki denklemin

$6k^2+6k+1=2.(n^2+2n)$ olacaktır. (Gerekli sadeleştirmeleri atladım)

Sol taraf $tek$ ve sağ taraf $cift$ olacağı için bu eşitlik sağlanmaz. Dolayasıyla $\sqrt{3}$ irrasyoneldir.

Şimdi Özgür Hoca'nın dediği gibi $x$'in karesini alalım;

$x^2=8+2.\sqrt{3}.\sqrt{5}$ 

Bu sayı rasyonel olsaydı karesi de rasyonel olurdu, ancak karesi rasyonel değil çünkü çarpanları arasında irrasyonel bir sayı var ($\sqrt{3}$). Çok güçlü bir sav gibi görünmemekle beraber bunu şöyle açıklayabilirim;

Rasyonel sayıların her birinin devirli bir ondalık gösterimi vardır (yani virgülden sonrası periyotludur,tek sayı veya binlerce sayı ama yine de devreder) $8$ rasyonel bir sayıdır $0$'ı devreder (virgülden sonra) şimdilik $\sqrt{5}$'in irrasyonel olduğunu bilmesek bile vürgülden sonra hiç bir devredeni bulunmayan bir sayıyla devredeni çarpsak bile devretmeyen bir ifade elde ederiz. İkisi de devretmeyen sayılar olursa (yani irrasyonel sayılar) karmaşa daha da büyür (Tabii bu sayıların çarpımı kök içinde bir tamkare veya o derecenin muadilini belirtmemeli ki $\sqrt{15}$ bu duruma uygun). Ve bunu virgülden sonra etkisi olmayan bir sayı olan $8$ ile topluyoruz... 

Sonuç olarak $x$'in karesini aldık ve karesinin rasyonel olmadığını gördük eğer $x$ rasyonelse karesi de rasyoneldir ama karesi rasyonel olmadığına göre $x$ rasyonel değildir. $x$ rasyonel değilse de irrasyoneldir. ($\sqrt{5}$'in de irrasyonelliği de $\sqrt{3}$ gibi gösterilebilir)

Comments

iki irrasyonel sayinin carpimi rasyonel olabilir. $$\sqrt{2}\sqrt2=2$$ gibi. Burada tabii ki de $\sqrt{15}$ irrasyonel cunku her kare olmayan pozitif tam sayinin koku irrasyonel olur. Bunu da yukarida verdigim linkte de dedigim gibi $\sqrt2$ icin verilen ispatin aynisi ile ispatlayabiliriz.

---

Gerekli düzenlemeleri yapayım. Sağolun hocam:)

---

Sayın @deniztunayalçın, $3q^2=p^2$ da sol tarafın daima tek olduğunu söyleyemeyiz. $q$ çift ise ki olabilir çifttir.

---

Tamkare olması durumunu göz önünde bulundurarak p çift olamaz p 3 çarpanini tamkare bulundurur ve çift olursa q da tamkare veya muadili derecede 3 çarpanı bulunamayacağı lakin 1 eksiği bulunacağı için q tamkare olmaz (şeklinde düşündüm)

---

Ayrıca $p$ ve $q$ aralarında asaldırı eklemeyi de unutmuşum:(

---

Çok teşekkür ederim herkese. Kanıt fikri rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamının irrasyonel olmasına dayanıyormuş.

Answer 2

Kanıtı rasyonel kök teoremi ile de( http://matkafasi.com/98012/denklemler?state=edit-98049&show=98049#c98049) yapabiliriz. Bir $P(x)$ polinomunun $r$ ve $s$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{r}{s}$ gibi bir sıfırı (kök diyelim) varsa $r|a_{0}$  ve $s|a_{n}$ olmalıdır. Fakat bu ifadenin karşıtı doğru değildir. 

Örneğin $P(x)=6x^4+17x^3+7x^2-8x-4$  olsun.   $\dfrac{r}{s}$ sayısı  $P(x)=0$ ın  rasyonel kökü ise $r|4$ ve $s|6$ olmalıdır. Buna göre mümkün $\dfrac{r}{s}$ değerleri $-+1/6,-+1/3,-+2/3,-+1,-+2,-+4,-+4/3,-+1/2$ olur. Bunlar polinomda yerine yazarak denenirse $-2,-1-1/2,2/3$ sayılarının polinomun kökleri olduğu görülür.

Şimdi $x=\sqrt{3}+\sqrt{5}$  dersek $x^2-8=2\sqrt{15}$  ve kare alarak $x^4-16x^2+4=0$ denklemini elde ederiz. Rasyonel kök teoremine göre bu denklemin mümkün rasyonel kökleri $-+2$ ve $-+4$ sayıları olabilir fakat bu değerler denklemi sağlamadığından  $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ sayısı rasyonel olamaz. 

Answer 3

Ben de eksiltme yapabilecegimiz bir cevap vereyim. Diyelim ki $$\sqrt{3}+\sqrt{5}$$ rasyonel bir sayi. Bu durumda $$2=(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$$ oldugundan ve $2$ ile $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ rasyonel oldugundan $$\sqrt{5}-\sqrt{3}$$ de rasyonel olur. Dolayisiyla, $1/2$ de rasyonel oldugundan, $$\frac{1}{2}[(\sqrt{3}+\sqrt{5})-(\sqrt{5}-\sqrt{3})]=\sqrt3$$ de rasyonel olur. 

Dolayisiyla $\sqrt 3$ degerinin irrasyonel oldugunu gosterirsek bu bilgi bize celiski ve de dolayisiyla  gercel olan $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ ifadesinin irrasyonel olmasi gerektigini verir.

Comments

Teşekkürler.