$X^{2^n-1}+a$ polinomunu karakteristigi $2$ olan bir cisim uzerinde carpanlara ayirma

0 beğenilme 0 beğenilmeme
115 kez görüntülendi

Muhtemelen cozecegim (-e inandigim) bir soru, cozulmus (ya da ilgilenilmis) olma olasiligi da yuksek. Fakat ugrasmasi eglenceli olacak diye burada da paylasayim. Bununla neden ugrasiyorum, cunku bir ispatta muhtemelen kullanacagim. Belki de kullanmam. (Kullanirken cozene referans vermem ama burada tesekkur ederim:) )

Soru: $\mathbb F_{q^r}$ uzerinde, $q$ cift olmak ve $a \in \mathbb F_q$ olmak uzere, $x^{2^n-1}+a$ olacak polinomu indirgenemez carpanlarina ayiralim. 

Ek Soru:
 Bunun cevabi var ise kuvveti ve asali rastgele secerek olusturacagimiz sorunun cevabi ne olur.


Asagidakileri istege bagli okuyabilirsiniz: 


Bir iki durum incelemesi:


$n=1$ durumunu zaten belli: $x+a=x+a$

$n=2$ durumunda ise $x^3+a$ ya bir kok icerir, ya uc kok icerir ya da indirgenemez olur. Bunu incelemek de zor degil. (Kisacasi $3=3=1+2=1+1+1$ olur, hepsi bir sekilde elde edilir, nerede nasil elde edecegimiz de belli. Konuya yeni girenler ogrenme amacli bu durumun incelemesini yapabilir).

$n=3$ durumunda $2^n-1=7$

$n=4$ durumunda $2^n-1=15$ oluyor. 

Gittikce gidiyor.

Genel hal ve bu halin karsilastirmasi:
 Simdi $2^n-1$ genel bir kuvvete gore guzel. Cunku bir cisimin sifir olmayan elemanlarini $X^{2^n-1}+1$ polinomunun kokleri ile belirtebiliriz. Bu durumda $a=1$ durumu icin sadece cisim kesismesine bakariz. 

Simdi $n=2$ durumunda "$a$ bir kup mu degil mi?" sorusunu sorabiliriz  ve durumu buna gore ayirabiliriz. Bu soru ve cevabi da zor olmadigindan isleri cabucak cozeriz.

vs vs vs bircok yorum yapilabilir.

30, Haziran, 30 Akademik Matematik kategorisinde Sercan (23,213 puan) tarafından  soruldu

Bugun tekrar bakti, olay siklotomik polinomlarin guzel carpanlara ayrilisindan gelecek gibi. Ayica $\alpha$'nin mertebesi ile cisminin sifirsiz eleman mertebesinin ebob'u ile ilgilenmek gerekebilir. Artik guzelcene didikleyip temiz bir sekilde yazmak gerekir...

...