$a^n-b^n$ polinomunu carpanlara ayirma

Question

$f(n)$ degeri $a^n-b^n$ polinomunun tam sayi katsayili indirgenemez carpanlara ayrilmis halindeki indirgenemez carpan sayisi olsun.

 - $f(1)=1$, cunku $a-b$ daha fazla carpanlarina ayrilamaz,

 - $f(2)=2$, cunku $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$,

 - $f(3)=2$, cunku $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$,

 - $f(4)=3$, cunku $a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$,

 - $f(6)=4$, cunku $a^6-b^6=(a-b)(a+b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$.

Soru: $f(n)$ fonksiyonunu bulunuz.

Comments

abi bu tamamen bell sayısı sanırım

---

Hayır, siklotomik polinomlar.

---

@Anıl: Bell sayısı ne ve neden bunun Bell sayısıyla ilgili olduğunu düşündün?

---

Seriler çalışırken e ile bell sayılarının bagıntıları vardı onları baya araştırmıştım öyle ki burada hoş bir düzen keşfettiğimi hatırlıyorum ama şimdi bakınca göremedim. Muhtemelen bir zaman aklıma gelir, buraya yazarım.

Bell sayısı basitçe, k elemanlı bir kümemiz var, bu kümedeki her eleman sadece 1 kere kullanılmak koşulu ile ve bu elemanlardan üretilecek altkümelerin birleşimlerinin yine aynı kümeye denk olmak koşulu ile, k elemanlı bu kümenin kaç farklı, altküme birleşimi şeklinde yazılabileceği sayısı. Misal, 3 elemanlı kümem var,

$\{a,b,c\}=$$\{a\}\{b\}\{c\} \\ \{ab\}\{c\},\{a\}\{bc\},\{ac\}\{b\}\\ \{abc\}$ Dolayısıyla $B(3)=5$ miş.


Sanırım kurdugum benzerlik, bu altkümelerde kullanılan her elemanın 1 kere olması ile çarpanlara ayırırken benzer bir mantık kurmamızla alakalıydı.

Answer 1

Bu sorunun cevabi belli. Polinomumuz homojen. Bu nedenle $$x^n-1$$ ile ilgilenebiliriz. Bu da birin koklerini bulmaya giriyor. Bu polinomlari carpanlara ayirmak demek siklotomik polinomlari bulmak demek, yani $$x^n-1=\prod_{d\mid n} \Phi(n)$$ olarak yazmak demek.

Son not olarak sunu belirteyim: Sonlu cisimlerde (asal elemanli olanlari dusunelim ama) siklotomik polinomlar carpanlarina ayrilabiliyor (ayrilirken de guzel bir ozellik ile ayriliyor) fakat rasyonel sayilar uzerinde ayrilmiyor. 

Peki bu durumda sorunun cevabi ne oluyor? 

Comments

$a^{2k-1  } -b^{ 2k-1 }$ cinslerinin sadece 2 tane indirgenemez carpimi oldugu nasil gosterilir 1.si$(a-b)$ ya peki 2. carpandaki toplamin indirgenemezliginden nasil eminiz?

---

$2k-1=9$ ise bu dedigin dogru olmaz. $a^9-b^9=(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^6+a^3b^3+b^6)$ olur, yani $3$ tane indirgenemez carpani var.