Tamsayı katsayılı kuaterniyon halkada bir özellik

0 beğenilme 0 beğenilmeme
140 kez görüntülendi

$R=\{a1+bi+cj+dk \mid a,b,c,d\in\Bbb{Z}\}$ halkasını gözönüne alalım. $q$ tek asal tamsayı olmak üzere $R/qR$ halkasının izomorf olduğu halkayı belirleyin. Daha doğrusu bu halka $\Bbb{Z}_{q}$ üzerinde $2\times 2$ tipinde matris halkası. 

Sorum: Bu izomorfizmayı nasıl kurarız? $1$'i birim matrise, $i$'yi $\left(
  \begin{array}{cc}
    0 & 1 \\
    -1 & 0 \\
  \end{array}
\right)$ olarak tanımlamaya çalıştım. $j$ ve $k$ için bir görüntü tanımlayamadım. Ya da bunun dışında birşeyler mi yapacağız? Yardımcı olursanız sevinirim.

Soru orjinal yeri: J.C. McConnell, J.C. Robson, Noncommutative Noetherian Rings (1987)(Exercise 2A)

7, Haziran, 7 Akademik Matematik kategorisinde Handan (1,510 puan) tarafından  soruldu

Sanırım aradığın fonsikyon http://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html adresindeki 4-5-6-7 eşitliklerinde.

Şafak o matrisleri buldum, zaten pekçok yerde de mevcut. Anlayamadığım katsayıların mod-$q$'ya göre tamsayılardan gelmesi  gerekmez mi? Yanlış mı anlıyorum.
Bu soruyla bir makalede karşılaştım.
Example: Let $R$ be the ring of quaternions with integer coefficients. Then $R$ is a domain. However, for any odd prime integer $q$, the ring $R/qR$ is isomorphic to the $2$ by $2$ matrix ring over the field $\Bbb{Z}_{q}$ of integers modulo $q$, by the argument in [?, Exercise 2A]
...