Modüler Aritmetik

0 beğenilme 0 beğenilmeme
130 kez görüntülendi

$a,b,c$ birer rakam ve $abc$ üç basamaklı bir sayıdır. 

$abc^{a}\equiv 4(mod9)$

$abc^{b}\equiv 5(mod9)$

$abc^{c}\equiv 8(mod9)$ olduklarına göre,

$abc^{abc}\equiv x(mod9)$ koşulunu sağlayan en küçük pozitif tam sayı kaçtır?

Çözüm için yaklaşımım:

$a+b+c\equiv k(mod9)$ olsun.  $k\in\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},...,\bar{8}\}$ olacaktır.

$k=0$ ve $k=1$ olmadığı açık olarak görülüyor. $k=2$ için;

$2\equiv 2 (mod9)$

$2^2\equiv4(mod9)$

$2^3\equiv8(mod9)$

$2^4\equiv7(mod9)$

$2^5\equiv5(mod9)$

$2^6\equiv1(mod9)$ olur. Periyodu $6$ olduğundan Burada $a=2,8\quad b=5,\quad c=3,9$ olabilir. Fakat buradan bulunacak $2.1.2=4$ farklı $abc$ sayısının hiç birinde $k=2$ değildir. 

deneme ile $k=4,6,7,8$ için sonucun sağlanmayacağını gördüm.

 Sadece $k=5$ için

$5\equiv 5 (mod9)$

$5^2\equiv7(mod9)$

$5^3\equiv8(mod9)$

$5^4\equiv4(mod9)$

$5^5\equiv2(mod9)$

$5^6\equiv1(mod9)$ dır. $\varphi(9)=6$ olduğundan,buradan bulunacak $abc$ sayıları için $a=4, \quad b=1,7\quad c=3,9$ olabilir. Bu $1.2.2=4$ değişik $abc$ sayısından $abc=473$ sayısı istenilen koşulları sağlamaktadır. Dolayısıyla,

$473^{473}\equiv 2(mod9)$ dan $x=2$ bulunur. 

Not: Bu bir LYS deneme sorusu. Sanıyorum daha kısa ve güzel bir çözümü vardır. 


16, Nisan, 16 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Mehmet Toktaş (18,358 puan) tarafından  soruldu

LYS için biraz ağır soru olmuş,değil mi Mehmet hocam?


1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$\phi(9)=6$ bilgisi ile $$abc^{abc}=(abc^a)^{100}(abc^b)^{10}abc^c=(abc^a)^{16\cdot\;\boxed6+4}(abc^b)^{1\cdot\; \boxed6+4}abc^c$$$$\equiv 4^45^48\equiv 2^4(-1)\equiv 2.$$

16, Nisan, 16 Sercan (23,218 puan) tarafından  cevaplandı
16, Nisan, 16 Sercan tarafından düzenlendi

Sercan Hocam, $(abc^{a})^{100}(abc^{b})^{10}(abc^{c})\equiv 4^4.5^4.8$ nasıl oldu? Biraz daha açıklar mısınız?

Uslerin $6$ ile bolumunden kalani aldik. Biraz duzenledim.

$4,5,8$ değerlerini nasıl bulduk?

Ayrıca $458^{458}\equiv 8^{458}\equiv 8^2\equiv 1(mod9)$ değil mi?

Onlar verilmis.  $abc^a \equiv 4$.

Tamamdır. Teşekkürler Sercan hocam.

...