Modüler Aritmetik

Question

$a,b,c$ birer rakam ve $abc$ üç basamaklı bir sayıdır. 

$abc^{a}\equiv 4(mod9)$

$abc^{b}\equiv 5(mod9)$

$abc^{c}\equiv 8(mod9)$ olduklarına göre,

$abc^{abc}\equiv x(mod9)$ koşulunu sağlayan en küçük pozitif tam sayı kaçtır?

Çözüm için yaklaşımım:

$a+b+c\equiv k(mod9)$ olsun.  $k\in\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},...,\bar{8}\}$ olacaktır.

$k=0$ ve $k=1$ olmadığı açık olarak görülüyor. $k=2$ için;

$2\equiv 2 (mod9)$

$2^2\equiv4(mod9)$

$2^3\equiv8(mod9)$

$2^4\equiv7(mod9)$

$2^5\equiv5(mod9)$

$2^6\equiv1(mod9)$ olur. Periyodu $6$ olduğundan Burada $a=2,8\quad b=5,\quad c=3,9$ olabilir. Fakat buradan bulunacak $2.1.2=4$ farklı $abc$ sayısının hiç birinde $k=2$ değildir. 

deneme ile $k=4,6,7,8$ için sonucun sağlanmayacağını gördüm.

 Sadece $k=5$ için

$5\equiv 5 (mod9)$

$5^2\equiv7(mod9)$

$5^3\equiv8(mod9)$

$5^4\equiv4(mod9)$

$5^5\equiv2(mod9)$

$5^6\equiv1(mod9)$ dır. $\varphi(9)=6$ olduğundan,buradan bulunacak $abc$ sayıları için $a=4, \quad b=1,7\quad c=3,9$ olabilir. Bu $1.2.2=4$ değişik $abc$ sayısından $abc=473$ sayısı istenilen koşulları sağlamaktadır. Dolayısıyla,

$473^{473}\equiv 2(mod9)$ dan $x=2$ bulunur. 

Not: Bu bir LYS deneme sorusu. Sanıyorum daha kısa ve güzel bir çözümü vardır. 

Comments

LYS için biraz ağır soru olmuş,değil mi Mehmet hocam?

Answer 1

$\phi(9)=6$ bilgisi ile

$$abc^{abc}=(abc^a)^{100}(abc^b)^{10}abc^c=(abc^a)^{16\cdot\;\boxed6+4}(abc^b)^{1\cdot\; \boxed6+4}abc^c$$ $$\equiv 4^45^48\equiv 2^4(-1)\equiv 2.$$

Comments

Sercan Hocam, $(abc^{a})^{100}(abc^{b})^{10}(abc^{c})\equiv 4^4.5^4.8$ nasıl oldu? Biraz daha açıklar mısınız?

---

Uslerin $6$ ile bolumunden kalani aldik. Biraz duzenledim.

---

$4,5,8$ değerlerini nasıl bulduk?

---

Ayrıca $458^{458}\equiv 8^{458}\equiv 8^2\equiv 1(mod9)$ değil mi?

---

Onlar verilmis.  $abc^a \equiv 4$.

---

Tamamdır. Teşekkürler Sercan hocam.