Fırlattığımız cismin gezegeni dolaşıp tekrar elimize gelmesi."(ileri) Kalkülüs problemi"

0 beğenilme 0 beğenilmeme
67 kez görüntülendi

Düşlerimden birinde bir insanı çook hızlı bir şekilde yere paralel olarak fırlatıyordum ve aklıma şu soru geldi, bu insanı öyle bir $v$ hızıyla fırlatıcağım ki, ne dünyadan çıkıp fırlayacak ne de yere çakılacak, taa ki fırlattığım konuma gelene kadar.

Analizi kalkülüs mantığı ile yapmamız gerektiğinden düşümdeki kurallar/durumlar aynen şöyle;

  • Cisme etki eden herhangi sürtünme kuvveti yok.

  • Cisme etki eden tek ve biricik kuvvet, "vektörel yerçekimi kuvveti" cisim'in kütle merkezinden, dünya merkezine doğrudur. (Yerçekimi ivmesine $g$ diyelim, kuvvet yerine sadece $g$ ile uğraşmak yeter çünkü yerçekimine karşı veya birlikte başka bir kuvvet yok.)

  • Cismi noktasal olarak düşünebiliriz.

  • Mühim olan cismin atıldığı yere gelmesi, cismin fırlatılması ve sadece yerçekimine maruz kalmasına bağlı olarak izlediği tüm yörüngeler doğrudur.

  • Tüm evrende sadece dünya ve üstündeki cisim var(ve tabi cismi fırlatan ben), fantezi olarak başka gezegenler ekleyip ihtimallerle uğraşılmak istenirse kabuldür.


İhtimallerin ne kadar geniş ve yapılacak analizlerin ne kadar karmaşık veya basit olabileceğini anlayabilmemiz için:

Bu yapılan hareketin yörüngesinin çember, elips gibi konik olmasına gerek yok, gezegenin kütle merkezi ve şekli dolayısıyla aşağıdaki örnekteki "döngüsel olmayan bir fırlatma hareketi"inde ki durum da mümkündür;

image

Cismi Türkiye-Ankaradan-Amerika-Kaliforniya'ya fırlatıyorum eğer gezegen konik olsaydı resimdeki gibi gitmesini beklerdik(veya resimdeki rotanın interpolasyonu) ama misal, cisim, yerçekimi etkisi ile İrlandaya gitti ve sanki bir yokuşu tırmanır gibi oralarda bir yerde tüm enerjisini bitirdi ve oradan Venezuela'ya doğru yöneldi ve orda da aynı etkiyi görüp en son Kaliforniya'ya varabiliyor.Ama cismi çok hızlı fırlatmadığım için burada yere çakılıyor, belki daha hızlı fırlatsaydım tekrar ankaraya gelecekti.

Soru: Yukarıdaki motivasyon, örnek ve konularla ilişkili olarak, amacımız sadece cismin atıldığı konumundan sonra tekrar aynı konumuna yere çarpmadan dönmesi ise, aşağıdaki özelliklerin nitelikleri ve nicelikleri nasıl seçilmeli ki bu amacımıza varalım:

  1. Matematik dahilinde tanımlanan herhangi bir kapalı yol'un cinsi.$\displaystyle\oint$

  2. Cismin atıldığı gezegenin şekli.

  3. Cismin atılma hızının, bilinmeyen terimler cinsinden yazılımı.




19, Mart, 2017 Lisans Matematik kategorisinde Anil (7,732 puan) tarafından  soruldu
19, Mart, 2017 Anil tarafından düzenlendi
...