Osilasyon hareketinin diferansiyel hesabı

Question

Şekildeki sistemde yayın kuvvet sabiti $k$, cismin kütlesi ise $m$'dir. Yay $R$ kadar sıkıştırılarak serbest bırakıldığında yayın ucundaki cisim osilasyon hareketine başlıyor.

$\overrightarrow F=m\overrightarrow a$ olduğundan 

$-k \overrightarrow x= m\overrightarrow a$ olmalı.

$d\overrightarrow x= \overrightarrow v dt$ ve $d\overrightarrow v= \overrightarrow a dt$ olduğunu hatırlayalım. Konum vektörü olan $\overrightarrow x$'i $y$ fonksiyonu olarak yazarsak 

$-k y= my''$

diferansiyel denklemini elde ederiz. Bu diferansiyel denklem nasıl çözülür? Ortaya çıkan 

$x=R\cos(\omega t+\varphi)$

$v=-R\omega\sin(\omega t+\varphi)$

$a=-R\omega^2\cos(\omega t+\varphi)$

formüllerinin nereden geldiğini açıklayalım.

Answer 1

Başlangıç noktamız

$my''=-ky$

diferansiyel denklemi ve $y(0)=-R$, $y'(0)=0$ başlangıç koşullarıdır. Burada $y$ koordinatının, kütlenin denge konumundan itibaren ölçüldüğünü varsayalım. Üs işâretleri de zamana göre türevi göstermektedir.

Yukarıdaki denklem, lineer ve sabit katsayılı bir diferansiyel denklemdir. $y$ ve ikinci türevi orantılı olduğundan, çözüm önerisi olarak,

$y=A\exp \lambda t$

fonksiyonunu getirebiliriz. Bu öneriyi denklemimizde yerine koyarsak, $A\not =0$ olduğundan sadeleştirerek ve $k, m>0$ olduğunu haturlayarak,

$m\lambda^2=-k\Rightarrow \lambda=\pm i\sqrt{k/m}$

elde edilir. Demek ki iki $\lambda$ değeri için denklem sağlanmakta! O zaman,

$y_1=A_1\exp +i\sqrt{k/m}t$ ve $y_2=A_2\exp -i\sqrt{k/m}t$

fonksiyonları, diferansiyel denklemimizin birer çözümüdür. Lineer diferansiyel denklemlerden bildiğimiz meşhuur teoreme göre, bunların doğrusal bileşimi de diferansiyel denklemimizin bir çözümüdür (Genel çözüm):

$y=Ay_1+By_2=C_1\exp(+i\sqrt{k/m}t)+ C_2\exp(-i\sqrt{k/m}t)$

olarak bulunur. Şimdi, başlangıç koşullarından $C_1$ ve $C_2$'yi bulmamız gerekiyor. 

$y(0)=-R\Rightarrow C_1+C_2=-R$

$y'(0)=0\Rightarrow +i\sqrt{k/m}C_1-i\sqrt{k/m}C_2=0\Rightarrow C_1=C_2=-R/2$

bulunur. Herşeyi toparlarsak,

$y(t)=-R\frac{\exp(+i\sqrt{k/m}t)+\exp(-i\sqrt{k/m}t)}{2}=-R\cos(\sqrt{k/m}t)$

$\omega=\sqrt{k/m}$ olduğu görülmüştür. Peki $\varphi$ ne olan şeydir?

$\cos \pi=-1$ olduğunu ve kosinüs için toplam özdeşkiği hatırlanırsa, $\varphi=\pi$ olmak üzere,

$-R\cos(\sqrt{k/m}t)=R\cos(\omega t+\varphi)$ 

yazılabilir. 

Özetlersek, diferansiyel denklemin özel çözümü, $\omega=\sqrt{k/m}$, $\varphi=\pi$ olmak üzere,

$y(t)=R\cos(\omega t+\varphi)$

şeklinde bulunur. hız ve ivme ise tanımlarında kolayca verildiği gibi bulunur:

$v(t)=y'(t)=-\omega R\sin(\omega t+\varphi)$

$a(t)=y''(t)=-\omega^2R\cos(\omega t+\varphi)$.