Link'teki tanımlara ek olarak bir tanım daha ekleyelim .
Tanım 1 : $G$ bir grup $N<G$ olsun.Her $g\in G$ için $Ng=gN$ ise $N'ye$ $G'nin$ normal altgrubu denir
Tanım 2 :Bir $G$ grubunun öz olan hiç normal alt grubu yoksa $G'ye$ basit grup denir.
Alıştırma 1 : $S_3$ çözülebilirdir?
Alıştırma 2 : $S_4$ çözülebilirdir?
$S_4$ için kabaca kanıtlayacak olursak ;
$S_4 $ ün içinde normal olan alterne grubu var $A_4$ , $A_4$ içinde normal olan bir grup var vs.
$S_4 \unrhd A_4 \unrhd \{ id,(12)(34),(13)(24),(14)(23) \} \unrhd \{ id \} $
Dolayısıyla Basit gruplar dışında bir grup daha bulduk.$S_4$ çözülebilirdir.
$S_n $ , $n \geq 5$ için çözülebilir değildir ?
Kanıt olarak göstereceğimiz şey şu olmalı :
$S_5 \unrhd A_5 \unrhd \{ id \}$
Yani $S_n$ için $n \geq 5$ basit grup dışında hiç normal alt grubu olmadığından çözülebilir değil.
burada sorulmuş
Burada da sorulmuş
$ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$ Bu denklemin çözülemeyecek oldugunu Galois kanıtlıyor yukardaki çözülemezlik ile ilişkili olarak.
Kanıt yarım yamalak oldu ama Alıştırma 1'in çözümü ve $S_n $ , $n \geq 5$ için çözülebilir değildir ? ilgili kanıtları toplayalım .