Çözülebilirlik gruplar .

Question

Öncelikle  Çözülebilir Grup Nasıl olur onu tanımlayalım.

Tanım 1 :  $G$ bir grup ve $G$ 'nin altpruplarının

$G=G_1 \unlhd G_2 \unlhd G_3 \unlhd   \ . . . .  \unlhd G_n \unlhd G_{n-1}= \{ id \}$ 

serisini göz önüne alalım. $1\leq i\leq n$ olmak üzere $G_{i-1} , G_i$ nin normal altgrubu ise bu seriye altnormal grup denir.

 

Tanım 2 : Bir $G$ grubu $1\leq i \leq n$ için $G_i \diagup G_{i-1}$ abelyan olacak şekilde 

$G=G_1 \unlhd G_2 \unlhd G_3 \unlhd \ . . . . \unlhd G_n \unlhd G_{n-1}= \{id \}$ sonlu altnormal serisine sahipse bu gruba $çözülebilir$ grup denir.

Soru : $p$ ve $q$ farklı asal sayılar olmak üzere $p^2 q$  ve $pq$ mertebeli bütün $G$ grupları çözülebilirdir ?

Uğraşım : $pq$ için :   $p<q$ ve $G$ ' nin mertebesi $|G|=pq$  . Bu durumda |G| nin mertebesi  $q$ olan yanlız bir altgrup var. q. mertebeden bu alt grup $G$ 'de  normal . Bu derecesi $q$ olan gruba $H$ diyelim  $H \unlhd G$.  $|G\diagup H|=p$ olup $G\diagup H$ değişmelidir.$H$ 'da değişmeli  Bu yuzden $G$ bölüm grupları abelyan olan altnormal seriye sahip oldugundan çözülebilirdir.

Ancak ilki karışık geldi 

Comments

$q<p$ kismindan baslayabilirsin. Bu biraz basit.

$p<q$ icin de $q$-sylow'dan bir tane olacagini gosterip, buna normal diyebilirsin. Ayrica mertebesi $p^2$ olan gruplar da abeldir.