Fonksiyonlar hakkında bir soru.

Question

http://matkafasi.com/101202/fonksiyonda-islem#c101239

Sorusunda yorumda geçen konu ile ilgili soru sormak istiyorum.

Açıklamak gerekirse:

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ özelliğinin her zaman sağlandığını düşünüyordum fakat Anıl abi bunun her zaman sağlanmadığını ilgili sorunun yorum kısmında kanıtladı.

Şimdi sorum şu:

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ eşitliğini hangi durumlarda kullanabiliriz,hangi durumlarda kullanamayız? Bunu nasıl anlayacağız?

Comments

O ozellik varsa kullanirsin, yoksa kullanmazsin. (Daha derin bir anlami yok galiba).

---

Sercan hocam,

peki mesela linkteki soru diyelim ki önümüze geldi.Kullanıp kullanamayacağımızı nasıl anlarız?

---

$f$'in kendisi lineer degil. Ilk olarak $(x+y)^2\ne x^2+y^2$. Bu nedenle kullanmazdim.

---

buna bır genelleme yapabılırım sanırım , en kısa zamanda donerım umarım :) 

---

Rasyonel sayılardan rasyonel sayılar tanımlı bir $f$ fonksiyonu her $x,y$ rasyonel sayısı için $f(x+y)=f(x)+f(y)$ koşulunu sağlıyor olsun.

$y$' yerine $x,2x,3x,4x,...,nx$ değerlerini yazalım.

$y=x$ için $f(2x)=2f(x)$ 

$y=2x$ için $f(3x)=f(x)+f(2x)=3f(x)$

$y=3x$ için $f(4x)=f(x)+f(3x)=4f(x)$ olduğunu ve 

...

$y=nx$ için $f(nx)=nf(x)$ Buradan $f(x)=mx$ şeklinde olduğunu söyleyebiliriz. Gerçekten de $f(nx)=m(nx)=n.(mx)=n.f(x)$ olur. $f(x)=m.x$ şeklinde tanımlı fonksiyonun daima $f(x+y)=m(x+y)=mx+my=f(x)+f(y)$ olduğunu görmek kolaydır.

---

@Anil, Mehmet hocanin dedigi gibi $\mathbb Q$ uzerinde sadece $f(x)=f(1)x$ formunda olur.  Fakat $\mathbb R$ icin daha fazlasi da var. Sitede de soru ve cevabi var. (link)

---

Peki sadece lineer olması durumunda mı sağlanır bu? Lineer olmayan bir fonksiyonda bunu göremez miyiz?

---

Bir onceki yorumumu okuyabilirsin.