Tamkısmın biricikliğinin ispat metodları.

Question

Teorem:  $\forall x\in\mathbb R$  , $n\le x<n+1$ eşitsizliklerini sağlayan bir ve biricik $n\in\mathbb Z$ vardır.


Kanıt :  $x\le 0$ için;

$A=\{a\in\mathbb N :a\le x\}$   olsun, $0\in A$ ve görülüyor ki  $A$ kümesi $x$ tarafından üstten sınırlı.Teoremler havuzundaki bir teoreme göre bu kümenin bir en küçük üstsınırı olmak zorunda$^{s1}$.

Bu en küçük üstsınırımıza $n$  dersek,

$n\le x <n+1$  olur.

Böyle bir üstsınırın tekliğini(biricikliğini) kanıtlayalım.

En küçük üst sınırı seçtiğimizi sanıyoruz ,ama velhasıl kelam $n$'den daha küçük bir $m$ doğal sayısı en küçük üst sınırsa ya?

O zaman

$n>m$ ve bunlar dogal sayı oldugundan $n\ge m+1$ olur ;

Tanıma göre;

$n+1>x\ge n$

$m+1>x\ge m$ 

ve

$n+1>x\ge n \ge m+1 > x$  olur ,çelişki; demekki $n$ biricikmiş ve $x$'in tam kısmıymış, başka hangi metodlarla ispatlayabiliriz?

Comments

$n\ne m$ bu sekilde iki tam sayi olsun. Bu durumda $$|n-m|=|(n-x)+(x-m)|\le |x-n|+|x-m|<2$$ olur. Bu da sadece $$m=n\pm1$$ durumunda gerceklesebilir.

---

Önce $A\neq\emptyset$ olduğunu da göstermek gerekir.

$n$ nin tekliği $[n,n+1),\ n\in\mathbb{Z}$ aralıklarının ayrık oluşundan da görülebilir.

---

Değerli cevaplarınız için teşekkürler.