$dimV=n$ ve $v_1, \dots , v_n \in V$ olsun. Eğer her $i \neq j$ için $ <v_i, v_j> =0$ oluyorsa $\{v_1 , \dots , v_n\}$ $V$'nin bir bazı olur mu?

Question

$V$, $K$ cismi üzerine $n$ boyutlu bir vektör uzayı olsun ve $v_1, \dots , v_n \in V$ olsun. Eğer bu n elemandan herhangi ikisinin skaler çarpımı $0$ ise ve her $j$ için $v_j \neq 0$ ise $\{v_1 , \dots , v_n\}$ $V$'nin bir bazı olur mu?

Comments

Sanırım olur Çağan. İç çarpım sıfır olduğundan tüm vektörler doğrusal bağımsızdır.Hatta diklikten dolayı ortogonal baz olur.

---

$\mathbb{R^n}$'de bariz de, herhangi bir vektör uzayında iç çarpım sıfırsa lineer bağımsız olduklarını nasıl gördük Alper Hocam?

---

Herhangi bir cisim için konuşsak da eğer rastgele ikisi lineer bağımlı olsaydı hipotezin gerçekleşmezdi. Yani öyle en az bir vektör bulurduk ki   $<v_i,v_j>=0$ Öklid iç çarpımı şartın sağlanmazdı.

---

Çarpma Öklid iç çarpımı olmak zorunda değil ki ama

Herhangi bir cisim üzerine herhangi bir vektör uzayında öyle bir skaler çarpma tanımlayamaz mıyız ki $v_1,v_2$ lineer bağımlı olsunlar ve $<v_1,v_2> = 0$ olsun?

---

$a_iv_i+\cdots+a_nv_n=0$ olarak kabul edip $v_i$'ler ile carptigimizda hr $i$ icin $a_i<v_i,v_i>=0$ olur. ve $v_\ne 0$ icin $<v_i,vi> \ne 0$  olur.