p1,p2,...,pn asal sayıları ve α1,α2,...,αn pozitif tamsayıları için aritmetiğin temel teoremini kullanarak n=pα11⋅pα22⋯pαnn olduğunu varsayabiliriz. Her bir pαii aralarında asal olduğundan ve ϕ fonksiyonu çarpımsal olduğundan, biraz hesaplarsak:
ϕ(n)=ϕ(pα11⋅pα22⋯pαnn)=ϕ(pα11)⋅ϕ(pα22)⋯ϕ(pαnn)
buluruz. Ayrıca kanıtlanabilir ki : ϕ(pαii)=pαii−pαi−1i .
O halde,
ϕ(n)=ϕ(pα11)⋅ϕ(pα22)⋯ϕ(pαnn)=(pα11−pα1−11)⋅(pα22−pα2−12)⋯(pαnn−pαn−1n)
elde ederiz. Her bir pi tek sayı olduğundan, her bir pi'nin bir kuvveti de tek sayıdır. Her bir parantez içinde iki tek sayıyıdan küçüğü büyüğünden çıkardığımızdan, bir pozitif çift sayı buluruz. Sonlu tane pozitif çift sayının çarpımı da pozitif çift sayıdır. Her bir pi'nin tek sayi olmadigi durumda ise ancak bir tanesi 2 olabilir. Bu durumda parantez icindeki ifade yine cift olur. Yalnizca bir tane p olup onun da 2 olma durumu ise varsayimla celisiyor.