$n\mid\varphi(a^n-1)$ olduğunu gösteriniz.

Question

$a,n\in\mathbb{N}$ ve $\varphi$, Euler'in $\varphi$ fonksiyonunu göstermek üzere,

$n\mid\varphi(a^n-1)$ olduğunu gösteriniz.

Ben şöyle bir yol izledim:

$(k,l)=1$ iken $n=k.l$ diyelim.

o zaman $n/\varphi(a^{k.l}-1)$ olur.

$a^{k.l}-1$'i $(a^{k})^{l}-1^l$ şeklinde yazalım.

O zaman $a^{k.l}-1=(a^k-1)(a^{k(l-1)}+a^{k(l-2)}+ \cdots +a^k+1)$ olur dedim ama bundan sonrasını ilerletemedim. Nasıl bir yol izlemeliyim acaba yardımcı olursanız sevinirim.

Answer 1

$a,n>1$ iken $n\mid \varphi(a^n-1)$ olduğunu gösterelim. ($n=1$ iken iddia aşikar doğru)

$I=\{k\in\mathbb{N}^+:a^k\equiv 1\ \mod(a^n-1)\}$ olsun.

$n\in I$  olduğu ve $n$ nin $I$ nın en küçük elemanı olduğu kolay.

İddia: $n$, $I$ nın tüm elemanlarını böler. (Bunu,  sen göster) 

$(a,a^n-1)=1$ (aralarında asal) olduğu için) Euler in Teoreminden $a^{\varphi(a^n-1)}\equiv 1\mod (a^n-1)$, dolayısıyla

$\varphi(a^n-1)\in I$ olur. İddiamızı kullanarak, $n\mid \varphi(a^n-1)$ elde ederiz.