moduler aritmetik

Question

$(2007)^x$=1(mod5) ise x in alabilecegi en kucuk pozitif iki tam sayi degerinin toplami kactir?

Comments

$2^x$ seklinde yazdim devamini getiredim.

Answer 1

Moddaki sayı üzerinden istediğimiz gibi ekleme çıkarma oynama yapabiliriz.

$2007$ yerine $2$ yazalım ($2005$ bölünüyor.)

$2^x=1(mod5)$ oldu

şimdi $2$'nin üslerinin mod5'e göre denklik sınıflarını yazalım

$2^1=2,2^2=4,2^3=3,2^4=1$ oldu.

Her $4$ tanede bir döngüye giriyor yani her $4$ üs tekrarında sayıların kalanları $2,4,3,1$ diye gidiyor.

Bizden $1$ kalanını istiyorsa bu sayı $4$'e tam bölünmeli.Yani $x=4k,k\in Z$  diyebiliriz.

$x$'in en küçük pozitif tam sayı değeri $k=1,x=4$ ve $k=2,x=8$ olur.

toplamları da $12$

Comments

 $a\in Z$,  $p$  bir asal sayı olmak üzere, bu sorunun çözümü,

 hem Euler fonksiyonu yardımıyla, yani   $OBEB(a,p)=1$ ise, $a^{\varphi(p)}\equiv 1(modp)$ ile ve hem de 

Fermat teoremi ile:$ a^{p-1}\equiv 1(mod p)$ çözülebilir.