moduler aritmetik

Question

2x+21y=1 denklemini saglayan x ve y tam sayilarinin k€Z parametresine bagli olarak bulunuz?

Comments

Oklid algoritmasi yaptim,obebini bulum,parametreyi yazamadim.

---

Öklit algoritması yaparkenki kullandığın basamakları buraya yazarsan hatanı görmen daha kolay olur.

Answer 1

$a,b,c\in Z$ olmak üzere    $ax+by=c$     biçimindeki birinci dereceden iki bilinmeyenli hem katsayıları hemde çözümleri tam sayı olan denklemlere Diophant denklemleri deniyor. Bu denklemlerin bir çözümünün var olması için gerek ve yeter koşul $OBEB(a,b)=d$'nin $c$'yi tam bölmesidir.(Yani $d|c$ olmasıdır.)  Eğer $(x_0,y_0)$    bu denklemin bir çözümü ise  parametreye bağlı olarak tüm çözümler : $x=x_0+\frac bd.k, \quad y=y_0-\frac ad.k,\quad k\in Z$ dir.

Buna göre sorudaki verilerden $OBEB(21,2)=1$  ve $1|1$ olduğundan bir çözüm vardır. Bu Öklid algoritması yolu ile $2(-10)+21.1=1\Rightarrow x=-10,y=1$ olarak bulunur. Diger tüm çözümler ise :

$x=-10+21.k, y=1+2k$ dan $k=0,\pm1,\pm2,\pm3,...$ ile bulunur.