$\displaystyle \int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}-a^2}}dx$ integrasyonu

Question

$\displaystyle \int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}-a^2}}dx$ integrali için farklı çözümler geliştirelim. Ben bir ipucu vereyim, $e^x=\sec t$ dönüşümü yapılabilir. Başka? Bir soruyu çözmenin birden farklı yolu olmalı diye düşünüyorum. Ne kadar farklı çözüm görürsek de tecrübemiz o oranda artacaktır. Kolay gelsin :)

Answer 1

$$e^x=a\cdot \cosh y$$ dönüşümü yapılabilir. Bu durumda 

$$e^x=a\cdot \cosh y\Rightarrow e^xdx=a\cdot \sinh y dy$$ olduğundan

$$\int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}-a^2}}dy=\int \frac{a\cdot \sinh y}{\sqrt{(a\cdot \cosh y)^2-a^2}}dy=\int \frac{a\cdot \sinh y}{\sqrt{a^2\cdot \cosh^2 y-a^2}}dy$$

$$=$$

$$\int \frac{a\cdot \sinh y}{\sqrt{a^2(\cdot \cosh^2 y-1)}}dy=\int \frac{a\cdot \sinh y}{a\cdot \sqrt{\cosh^2 y-1}}dy=\int \frac{a\cdot \sinh y}{a\cdot \sinh y}dy$$

$$=$$

$$\int dy=\ldots$$ bulunur.

Comments

Çok teşekkürler hocam, ben de varyasyonları artırmak adına kendi çözümümü yazayım :)

Answer 2

$\displaystyle e^x=a.\sec u \Rightarrow e^x dx=a\frac{\sin u}{\cos^2 u}du$ dönüşümü yaparsak

$\displaystyle \int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}-a^2}}dx= \int \frac{a.\sin u}{\cos^2 u\sqrt{\frac{a^2}{\cos^2u}-a^2}}du=\int \sec u.du$ olur.

$\displaystyle \int \frac{\sec u(\sec u+\tan u)}{\sec u+\tan u}du$ olarak yazıp, $\sec^2u=(\tan u)'$ ve $\sec u.\tan u=(\sec u)'$ olduğunu görürsek, $\displaystyle \int \sec u.du=\ln|\sec u+\tan u|+c$ olduğunu rahatlıkla bulabiliriz.

$\displaystyle \sec u=\frac{e^x}{a}$ ve $\displaystyle \tan u=\frac{\sqrt{e^{2x}-a^2}}{a}$ olduğundan integralimiz $\displaystyle  \int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}-a^2}}dx=\ln\left|\frac{e^x}{a}+\frac{\sqrt{e^{2x}-a^2}}{a}\right|+c$ halini alır.

Burada son olarak sadeleştirme adına $\displaystyle \ln\left|\frac{e^x}{a}+\frac{\sqrt{e^{2x}-a^2}}{a}\right|+c=\ln\left|e^x+\sqrt{e^{2x}-a^2}\right|-\ln a+c$ olarak yazılıp $\ln a$ integral sabitine katılabilir. Bu durumda integrasyonun son hali $\displaystyle \int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}-a^2}}dx=\ln\left|e^x+\sqrt{e^{2x}-a^2}\right|+c$ olur.