Cisim genişlemesi derece bulma.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
37 kez görüntülendi

Sorunun bir kısmı :  $\mid Q(\sqrt2 , \sqrt3 , \sqrt5):Q\mid =8 $ 

$\mid Q(\sqrt2 , \sqrt3 , \sqrt5) : Q(\sqrt2 , \sqrt3 )\mid \mid Q(\sqrt2 , \sqrt3 ) : Q(\sqrt2 )\mid \mid Q(\sqrt2 ): Q\mid =8 $

Diye yazıp sırayla en alttan başladım . Bir adımda şunu anlayamadım ;

$\sqrt5 \notin Q(\sqrt2 , \sqrt3 )$

$\sqrt5=p+q\sqrt2+r\sqrt3+s\sqrt6$    $p,q,r,s \in Q$  Her tarafın karesını alıp gerekli işlem yapınca ,

$p^2+2q^2+3r^2+6s^2=5$

$pq+3rs=0$

$pr+2qs=0$

Burada $p,q,r,s $ nasıl seçmeliyiz. Nasıl işleme devam etmeliyiz?

29, Ekim, 2016 Lisans Matematik kategorisinde ra (49 puan) tarafından  soruldu
29, Ekim, 2016 ra tarafından düzenlendi

"Sorunun bir kısmı" demişsiniz.. Sorunun aslı nedir?

Sorunun bu kısmı şunu soruyor.Yani derecenin 8 olacagını gosteriniz

$\mid Q(\sqrt2 , \sqrt3 , \sqrt5):Q\mid =? $ 

Tamam..( $\sqrt5 \notin \mathbb{Q}(\sqrt2 , \sqrt3)$ ise $\sqrt5$ sayısını , $\sqrt5 = p+q(\sqrt2)+r(\sqrt3)+s(\sqrt6)$  $p,q,r,s\in \mathbb{Q}$ şeklinde yazamayız.)

$[ \mathbb{Q} (\sqrt{2} , \sqrt{3} , \sqrt{5} ) : \mathbb{Q}] = [ \mathbb{Q} (\sqrt2 , \sqrt3 , \sqrt5) : \mathbb{Q} (\sqrt2 , \sqrt3)] \cdot [ \mathbb{Q} (\sqrt2 , \sqrt3) : \mathbb{Q} (\sqrt2)] \cdot [ \mathbb{Q} (\sqrt2) : \mathbb{Q} ]$

olduğu biliniyor. 

--$\mathbb{Q}(\sqrt2)$  nin $\mathbb{Q}$  üzerinden boyutunu bulalım.

$\alpha= \sqrt2 \Rightarrow {\alpha}^2 -2=0=f(\alpha) \Rightarrow f(x)=x^2-2 \in \mathbb{Q}(\sqrt2) \backslash \{0\}$ polinomu $\mathbb{Q}$ üzerinde indirgenemezdir ($p=2$ için Eisenstein kriteri). $\sqrt2$   $\mathbb{Q}$ üzerinde cebirsel ,$f$ (monik ve indirgenemez) minimal polinom olduğundan $[ \mathbb{Q}(\sqrt2) : \mathbb{Q} ]= derf(x)=2$

Diğer gösterilmesi gereken iki durum için de benzer şeyler yapılırsa $[ \mathbb{Q} (\sqrt{2} , \sqrt{3} , \sqrt{5} ) : \mathbb{Q}]=8$ olduğu görülebilir..
...