Üçgende Kenar Uzunluğu

Question

$|AD|+|BD|+|CD|$'nin alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Kenarlara $x,y,z$ diyerek $3$ farklı üçgen eşitsizliği yazıp birleştirmeye uğraştım.Fakat hangi kenar diğerinden uzun vs. bilmediğimden karman çorman bir şey oluştu.Nasıl bir yol izlemeliyim?

Comments

Normalde, çevreye $2u$ dersek

$u<AD+BD+DC<2u$ eşitsizliği sağlanır.

---

Bu yazdığın eşitsizlik bir formül veya kural mı? Daha önce görmemiştim.

---

$AD = x$

$BD = y$

$DC=z$ diyelim

Biliyoruz ki

$x+y>8$

$x+z>11$

$y+z>9$ olacaktır. Eşitlikleri taraf tarafa toplarsak

$x+y+z > u$ elde edilir. Diğer taraftan

$11+8 > y+z$

$9+11 > x+y$

$9+8 > x+z$

elde edilir. Taraf tarafa toplanırsa

$11+9+8>x+y+z$

yani $u<x+y+z<2u$ dur. Ancak ilginç bir  biçimde fermat toriçelli noktası bize bu eşitliğin tam doğru olmadığını söyler. Bunla bi dene bakalım soruyu olmazsa ona bakarız

---

Soru çıkıyor.

Aynı şekilde, 

''Bir üçgenin sınırladığı alan içerisindeki herhangi bir P noktası ile köşeler birleştirilirse ve üçgenin çevresi verilirse ve çevreye $u$ denirse

$u/2<|PA|+|PB|+|PC|<u$ eşitliği elde edilir ''

diye bir formülün olduğunu gördüm.Yani yazdığın doğru, geliş noktası da bahsettiğin şekilde olmalı.En azından ben bir hata görmedim.

---

Üçgenin çevresi belli kenarları belirsiz ise u<x+y+z<2u eşitsizliği kullanılır ki bu şartları sağlayan en geniş aralıktır fakat en darı değildir. Kenarlar sorunuzda olduğu gibi tek tek belli ise aralık daralır. Bu durumda Doğukan'ın bahsettiği Fermat noktası toplamı en küçük yapan noktadır. Kullandığın kaynak yanıtı en geniş aralığa göre verdiyse hatalıdır.

---

    Hem @Dogukan633'ün hem de @alpercay hocamın sözünü ettiği Pierre de Fermat tarafından sorulan ve Evangelista Toricelli tarafından varlığı kanıtlanan,ve bu sebeple "Fermat-Toricelli" noktası olarak adlandırılan bu noktanın özelliği üçgenin üç köşesine olan uzaklığı toplamı en küçüktür. Böyle bir nokta her üçgen de vardır. Bu nokta açı ölçüleri $120^0$ ve daha küçük olan üçgenlerde iç bölgesinde, aksi durumda üçgenin dışındadır. 

    Kenar uzunlukları $a,b,c$ olan bir $ABC$ üçgeninde Fermat-Toricelli noktasının üçgenin köşelerine olan uzaklıkları toplamı : $\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+4\sqrt3.A(ABC)}{2}}$ dır. Bir iç noktanın köşelere olan en büyük uzaklığı da üçgenin en uzun iki kenarının kesim noktası olan köşe(nokta üçgensel bölgede düşünülmelidir.) olduğu için en büyük değer de $max\{a+b,a+c,b+c\}$ olacaktır.

Sonuçta istenen toplam $\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+4\sqrt3.A(ABC)}{2}}\leq |DA|+|DB|+|DC|\leq max\{a+b,a+c,b+c\}$ olacaktır.

Buna göre sorunun cevabı: $16+20=36$ olmalı. 

---

Baykuşun dediğine göre yanıt maksimum 27, minumum 15 verilmiş Mehmet Hocam. Kaynak 2016 basımı imiş ama hala hatalı yanıtlarını düzeltmiyorlar.

---

Demek ki yazarın haberi yok. Ben böyle durumlarda ben bir şekilde yazara ulaşıp durumu bildiriyorum. Kaynağı bilmediğim için bu görevi sayın @baykuşa bırakıyorum. Artık uçarak gider herhalde.Ne de olsa kuş:)) 

---

Evet.Kaynağa göre direk u<x+y+z<2u şeklinde çözüm yapılırsa doğru cevaba ulaşılabiliyor.

Açı Yayınları YGS Geometri Kitabı, 2016 basımı kaynak.

---

Hatta bütün ayrıntılarını vereyim, iletişime geçecekseniz elinizde bulunsun.

Kitap adı: YGS Geometri ''Koşmaya Hazırlayan Soru Bankası'' (ismi böyle tam olarak.) Açı Yayınları

Soru ise 36. sayfadaki 12 numaralı soru.

---

Bu nasıl bir kitap ismi! koşmaya hazırlayan! Yani eşofman,koşu ayakkabısı falan mı veriyor? Ne hale geldik!

---

Kitapta varsa; yazarın adı soyadı,telefonu ya da e-mail adresi var mı? Bildirirsen iyi olur.

---

Kitabın ismi biraz çılgın , haklısınız Mehmet hocam.(Benimkinin yanında eşofmanlar gelmedi ama.Gidip kırtasiyeye sorayım:)))

Kitabın önsözündeki isimler:

Yayın yönetmeni: Osman KAPLAN

Yazar: Ebru OLGUN AY

İletişim:

Telefon: (0312)231 75 41(pbx)

Faks: (0312)230 75 40

web: www.aciyayinlari.com.tr

e-mail: aci@aciyayinlari.com.tr

---

Teşekkürler sayın baykuş. Cevaplar kuş kadar hızlı:)))

---

Rica ederim hocam.

Geri kalanını size bırakıyorum artık:)

---

Tamamdır. İlgileneceğim.