f:R-{2}--->R-{1} olmak üzere

Question

$f(x)=\frac{x+1}{x-2}$ ise $f(^{-1})'(0)$ değeri kaçtır?

Ben bu tür sorularda $f(x)=y$ ise $f(^{-1})(y)=x$ yaparak çözüyorum.Ben ${-4}{3}$ buldum ama cevap -4

Comments

İpucu: Uygun koşullarda $f(x_0)=y_0$ olmak üzere  $$(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$$

---

Çıkmadı hocam

---

-1 çıkması lazım. Çözümünü at istersen.

---

Eksik yazmışım. Düzelttim. Tekrar dene istersen.

---

Bize hoca formulü vermedi.Önce fonksiyonun tersini alıyorum sonra bileşke fonksiyonun türevini uyguluyorum.İşlemlerim:

$(f^{-1})'(\frac{x+1}{x-2})(\frac{1-2x}{x-1})$ yaptım.Daha sonra x+1/x-2'de x'i verecek bağıntıyı buldum yazdım ama çıkmadı.

x'i verecek bağıntıyı x+1/x-2'yi $x_1$ 'e eşitleyip buldum.

---

$y_0=0$ olduğuna göre $x_0$'ı bulabiliriz. $$f(x_0)=y_0\Rightarrow \frac{x_0+1}{x_0-2}=0\Rightarrow x_0=-1$$

$$f(x)=\frac{x+1}{x-2}\Rightarrow f'(x)=\frac{1\cdot (x-2)-1\cdot (x+1)}{(x-2)^2}=\frac{-3}{(x-2)^2}$$ Bundan sonrası dört işlem.

İkinci yol şöyle olabilir. $f$ fonksiyonu birebir ve örten olduğu için tersi vardır. Önce tersi bulunur sonra da türevi hesaplanarak $y_0$ noktasındaki değeri hesaplanır.

$$\boxed {f:\mathbb{R}\setminus\{2\}\rightarrow \mathbb{R}\setminus\{1\}, \,\ f(x)=\frac{x+1}{x-2}}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$\boxed {f^{-1}:\mathbb{R}\setminus\{1\}\rightarrow \mathbb{R}\setminus\{2\}, \,\ f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x-1}}$$

$$(f^{-1})'(x)=\frac{2\cdot (x-1)-1\cdot (2x+1)}{(x-1)^2}=\frac{-3}{(x-1)^2}$$

$$\Rightarrow$$

$$(f^{-1})'(0)=\ldots$$