II. Dereceden eşitsizlikler

Question

Her a ve b reel sayısı için $a<b$ iken $f(a)<f(b)$ ve $(fof)(x)=x^3$ olmak üzere,

$f(x)<f^-1(x)$ eşitsizliğini sağlayan en büyük $x$ tam sayısı kaçtır?

Bu soru için yapmayı ilk düşündüğüm şey $f(x)$ fonksiyonunu bulmak oldu fakat $(fof)(x)=x^3$'ten nasıl yola çıkacağımı bulamadım.( Aslında $\sqrt{x^3}$ buldum fakat buradan nasıl bir çözüme gidileceği hakkında ilerleme kaydedemedim)

Bu soruda nasıl bir yol izleyebilirim?

Answer 1

En basitinden $f(x)=x^a$ olarak dusunursek $$(f\circ f)(x)=f(x^a)=(x^a)^a=x^{2a}$$ olur ve $a=3/2$ secii icin bu tarz bir fonksiyon elde ederiz. 

Bu fonksiyon artan fakat negatif olmayan gercel sayilarda tanimli. 

Eger fonksiyonu $$f(x)=\begin{cases} \;\;\;\:x^{3/2} &\text{ eger } x \ge 0 \\[20pt] -|x|^{3/2} &\text{ eger } x < 0\end{cases}$$ olarak tanimlarsak istenen sartta bir fonksiyon elde etmis oluruz.

Buraya akdarki kismi "bu sekilde en az bir fonksiyon vardir" demek icin yazdim. Eger bu sartta bir fonksiyon olmasa bosa konusmus oluruz.

Bu sartlari saglayan $f$ fonksiyonlarinin artan olmasi gerektigi verilmis. Bu nedenle fonksiyonumuz birebir olur ve tersi de vardir.  $(f\circ f)(x)=x^3$ bilgisi bize $$f(x)=f^{-1}(x^3)$$ yani $$f(\sqrt[3]{x})=f^{-1}(x)$$ oldugunu verir.

Dolayisiyla bizden istenen $$f(x)< f(\sqrt[3]x)$$ kosulunun saglanmasi.

$f$ artan oldugundan $$x <\sqrt[3]x$$ olmali, ya da esdegeri olarak, $$x^3 < x$$ olmali, yani $$(x+1)x(x-1)<0$$ olmali.

Ek Soru:  Bu sartlarda baska fonksiyon bulabilir miyiz?

Comments

Sercan hocam, çözdüğünüz yolu anladım ve sondaki eşitliğe kadar getirip soruyu çözebildim.

Fakat bu şartları sağlayan başka fonksiyonun olup olmadığı konusunda pek fikir sahibi değilim.Ama olup olmaması soruyu değiştirir mi?

---

Soruyu buldugumuz $f$'ye gore degil verilen genel bilgilere gore cozduk. Bu nedenle degistirmez.