Question

$\emptyset \neq A \subseteq \mathbb{R}$ üstten sınırlı ve $c \in \mathbb{R}$ olmak üzere $$ \sup (A+c)=\sup A+c$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Her $a \in A$ icin $$a+c \le \sup A+c$$ olacagindan, tanimdan dolayi, $$\sup(A+c) \le \sup A+c$$ olur. Bu aslinda ispati bitiriyor. $A$ yerine $A+c$ ve $c$ yerine $-c$ koydugumuzda $$\sup((A+c)-c)\le \sup(A+c)-c$$ yani $$\sup(A)+c \le \sup(A+c)$$ olur.

Comments

Teşekkürler. İspatın ikinci kısmı için

$A$ kümesi üstten sınırlı ise $A+c$ kümesi de üstten sınırlı olacağından

$(\forall a \in A)(a+c \leq \sup(A+c)) $ $\Rightarrow$ $(\forall a \in A)(a \leq \sup(A+c)-c) $ 

                                                             $\Rightarrow$  $\sup(A+c)-c$ $\in A^{ü}$

                                                             $\Rightarrow$ $\sup(A) \leq \sup(A+c)-c$

                                                             $\Rightarrow$ $\sup(A)+c \leq \sup(A+c)$ 

şeklinde bir ispat yapılabilir mi? 

(Burada $ A^{Ü}$ gösteriminden kasıt $A$ kümesinin üst sınırlarının oluşturduğu kümedir.) 

---

Evet olur. Ikinci satiri yazmak yerine soyle de diyebilirsin, supremumum tanimindan dolayi.. $A^U$'yu da tanimlamamis olursun hem.