Question

$(\mathbb{R},\leq)$ poset , $\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$ alttan sınırlı bir altküme ve $c\in\mathbb{R}$ olmak üzere

$`` c < 0 \Rightarrow c.A , \text{üstten sınırlı}"$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Not:  $c.A=\{c.a \big{|} a\in A\}$ 

Comments

"$(\mathbb{R},\leq)$ poset" derken $\leq,\ \mathbb{R}$ üzerinde HERHANGİ bir sıralama mı yoksa bilinen sıralama mı kastediliyor?

---

Bilinen sıralamadan bahsediyorum hocam.

Answer 1

$\begin{array}{rcl} A \text{, alttan sınırlı} & \Rightarrow & A^{a}\neq\emptyset \\ & \Rightarrow & (\exists x\in\mathbb{R})(x\in A^{a}) \\ &\Rightarrow& \begin{array}{c} \\ \left.\begin{array}{rr} (\forall a\in A)(x\leq a) \\  c<0 \end{array}\right\}  \Rightarrow \end{array} \\  & \Rightarrow & (c.a\in c.A)(c.a\leq c.x)  \\ & \Rightarrow & c.x\in (c.A)^{ü} \\ & \Rightarrow & (c.A)^{ü}\neq\emptyset \\ & \Rightarrow & c.A \text{, üstten sınırlı.} \end{array}$