ispat ediniz

Question

aşağıdaki kümelerin sayılabilir , sayılamaz , sonlu ve sonsuz olduğunu ifade ve ispat ediniz. bu kümeleri kardinalitesine göre sıralayınız.

a) doğal sayılar kümesi

b) rasyonel sayılar kümesi

c) reel sayılar kümesi

d) tam sayılar kümesi

Comments

Siz neler düşündünüz çözmek için?

---

İpucu: Hiçbir özalt kümesi ile birebir eşlenemeyen kümelere sonlu küme; doğal sayılar kümesi ile birebir eşlenebilen kümelere sayılabilir sonsuz küme; sonlu veya sayılabilir sonsuz kümelere sayılabilir küme; sonsuz ve doğal sayılar kümesine denk olmayan (yani doğal sayılar kümesi ile birebir eşlenemeyen) kümelere de sayılamaz küme diyoruz. Bu yazdıklarımın matematikçeleri (!) aşağıdaki gibidir.

$$A\sim B:\Leftrightarrow \left(\exists f\in B^A\right)(f \text{ bijektif})$$

$$A\nsim B:\Leftrightarrow \left(\forall f\in B^A\right)(f \text{ bijektif değil})$$

$$A \text{ sonlu} :\Leftrightarrow (\forall B\in \mathcal{P}(A)\setminus\{A\})(A\nsim B)$$

$$A \text{ sonsuz} :\Leftrightarrow (\exists B\in \mathcal{P}(A)\setminus\{A\})(A\sim B)$$

$$A \text{ sayılabilir sonsuz} :\Leftrightarrow A\sim\mathbb{N}$$

$$A \text{ sayılabilir} :\Leftrightarrow \left (A \text{ sonlu }\vee A \text{ sayılabilir sonsuz}\right)$$

$$A \text{ sayılamaz} :\Leftrightarrow (A \text{ sonsuz }\wedge A\nsim\mathbb{N})$$

$$B^A:=\{f|f:A\rightarrow B \text{ fonksiyon}\}$$