$G=\left\{ \overline {a}:\overline {a}\neq \overline {0}\right\} \subset \mathbb{Z} _{n}$

Question

 $G=\left\{ \overline {a}:\overline {a}\neq \overline {O}\right\} \subset \mathbb{Z} _{n}$

olsun. Aşağıdaki önermelerin denk olduğunu gösteriniz.

(a) (G,.) bir gruptur.

(b) n bir asal sayıdır.

Comments

sizin fikriniz nedir? neresinde takildiniz?

---

(a) ise (b): $n$'nin asal olmadığını kabul ederek başlayın. Dolayısıyla $n$'nin $1$ ve $n$' den farklı asal çarpanları mevcut. Ve bu asal çarpanlara karşılık gelen denklik sınıfları da $0$'dan farklı. Halbuki kabulden $G$ bir grup ve her elemanın tersi var. Bu şekilde devam edin çelişkiye düşün. (b) ise (a): Bu yönde yalnızca her elemanın tersinin olduğunu göstermeniz yeterli. Çünkü diğer bütün özellikler(grup olma) $\Bbb{Z_{n}}$ 'nin sağladığı ozellikler. Bunun icin sıfırdan farklı bir $\bar{a}$ elemani alın ve $a$'nin $n$ ile aralarında asal olmasıni kullanarak devam edin.

---

<p>
    hocam G grupsa n asaldır bunu gosterdim ama n asalsa G gruptur u gosteremedim
</p>

---

Birim eleman ve birleşme özelliklerinin sağlandığını görebildiniz mi?

---

$\bar{a}\neq 0$ olduğundan $a$ ile $n$'nin en büyük ortak böleni $(a,n)=1$. O halde
$1=ab+nc$ olacak şekilde $b,c\in \Bbb{Z}$ vardır. $n$ moduna geçtiğimizde $\bar{a}\bar{b}=\bar{1}$ elde ederiz ki; bu ispatı tamamlar.

---

hocam anladım şimdi teşekkür ederim :)

---

Rica ederim. Vakit bulduğunda cevabını güzelce toparlayıp cevap kısmına yazıver, bu soruyla karşılaşanlar senin cevabından faydalanabilsinler.