Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
303 kez görüntülendi
{2a+3b4a+5b+2b+3a4b+5aa,b>0}(1110,109] olduğunu gösteriniz.

Bu aralığın bu içermeyi gerçekleyen en küçük aralık olduğunu da gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 303 kez görüntülendi

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Problemi genellemek adına:
x=b/a ve c=5/4 diyelim. İfadeyi 1+b4a+5b+a4b+5a=1+14x1+5+14x+5=1+14(1x1+c+1x+c)

olarak düzenleyelim. 

___________________________________________________
Soru için direkt c=5/4 değeri için devam etmemiz gerekir ama c>0 herhangi bir gerçel sayı olarak düşünelim.

fc(x)=1x1+c+1x+c için  fc(1/x)=fc(x) sağlandığından [1,) olarak ilgilenmemiz yeterli.

Şu an için ilgilenmek istediğim bu genel fonksiyonun davranışı. 

Türev alırsak fc(x)=(c21)(x21)(x+c)2(cx+1)2

olarak 0<c<1 ise artan, c=1 ise sabit, c>1 ise azalan olur. Bu da bize fc fonksiyonunun değerinin (sonsuz limiti olarak alacağız, burası aralığın açık kısmını verecek) 2c+1 (kapalı) ile 1c (açık)
arasında olacağını verir.

Soru: Türev almadan gözükebilecek bir halde aslında ama bunu nasıl güzel yazarız?
___________________________________________________________________________
Bu fikri soruda uygularsak b/a=1 ya da a/b0+ olacak şekilde aralık istenildiği gibi olur.

(25.5k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
"x+x12 elde etmek için (x+1)2" tarzı bir araç fc için var mı diye merak ediyorum.
a=b  iken f(a,b)=10/9 maksimum değerini almasının fonksiyonun simetrisi ile bir ilgisi var mı? Birkaç örnekte kısmi türevlere bulaşmadan işe yaradığını gördüm.
fc'lere geçme sebebim bu. Katsayıları simetrik olarak değiştirirsen bu fc'lerden birine geliyoruz. Bu nedenle, evet, a=b durumunda c'nin <1, >1 olmasına göre maks ya da min değer alıyor. Cevaptaki son cümleye denk geliyor maks ve min.

(Örnek var mı diye bakmadım ama) Başka bir simetrik ama (0,1] ya da [1,) üzerinde monoton olmayan bir (ikinci dereceden gibi) fonksiyon verilebilir. Bu durumda işler değişir. b=a durumunda maks ya da min elde etmeyiz.
2 beğenilme 0 beğenilmeme
Çözüm Poyraz'a aittir:

r>0  ve  0<θ<π/2 olmak üzere a=rcosθ,b=rsinθ dönüşümü ile f(θ)=40+41sin2θ44+46sin2θ
elde edilir.  sin2θ fonksiyonu (0,π/2) de simetrik olduğundan (0,π/4] aralığını incelemek yeterli. Bu aralıkta f(θ)=72cos2θ(41sin2θ+40)20
olduğundan f monoton artandır. Buna göre fmin=f(0)=11/10  ve  fmaks=f(π/4)=10/9 olmalıdır. Yani 11/10<f(θ)10/9
(3.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,827 kullanıcı