Maksimum güneş ışığı için nereye konulmalı?

Question

15 metrelik sebze bahçesi doğu-batı hattı boyunca birbirinden 150 metre uzaklıktaki iki bina arasında yapılacaktır.Binaardan birisi 60 metre , diğeri 100 metre  yüksekliğindedir.Bahçemiz gün boyunca maksimum saat güneş ışığı alması için nereye yerleştirilmelidir?

Comments

Bu soru hoşuma gitti.

Vaktim olduğunda, biri analiz, biri geometri ile iki çözümünü yazacağım.

---

Tabi ki zaman ayırdıgınız/ayıracagınız  için teşekkurler.

---

<p> Bence bu soru icin gunesin doguş ve batis saatleri arasindaki fark bilinmeli. Örnegin bu süre 9 saat ise saatte 20 derecelik, 10 saat icin 18 derecelik gunesin hareketi soz konusu.
</p>

Answer 1

Geometrik çözüm:

Apartmanlardan birinin (diğerine doğru) 15 metre kaydırıldığını düşünelim.

O zaman tarlanın (diğer) ucunun en çok güneş alabilmesi için (kaydırıldıktan sonra) binaların tepelerini birleştiren doğru parçasını en geniş açıyla gören (yerdeki) nokta olmalıdır. Bu da, $AB$ yi kiriş kabul eden çemberler arasında yere teğet olan çemberin ($C$) değme noktası olması demektir. 

Cevap:  (her iki çözümde de) Tarlanın, 60 m. yüksekliğindeki apartmandan $\frac12(5\sqrt{11875}-405)$  (yaklaşık 70,1605) m. uzakta olması gerektiği (Analiz çözümü için Wolfram Alpha kullandım, geometrik çözüm el ile de kolayca yapılabiliyor) çıkıyor.

Answer 2

Aşağıdaki şekildeki $\alpha+\beta$ açısı maksimum yapacak $x$ değerini bulmak gerekiyor.

Bunun için $\tan(\alpha+\beta)$ yı maksimum yapmak yeterlidir.

$\tan\alpha=\frac x{60},\ \tan\beta=\frac{135-x}{100}$ ve $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\frac x{60}+\frac{135-x}{100}}{1-\frac x{60}\frac{135-x}{100}}=\dfrac{40x+8100}{x^2-135x+6000}$ olduğundan, bir değişkenli rasyonel bir fonksiyonun maksimumunu bulmaya dönüşür.

Burada küçük bir şeyi gözardı ettim: 

Tarlanın yalnızca tamamının güneş aldığı saatleri hesaba kattım. Bu kabul, cevapta küçük bir farklılığa yola açabilir. Bu kabulü yapmazsak soru daha karmaşık bir hale gelir.