Maksimum güneş ışığı için nereye konulmalı?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
44 kez görüntülendi

15 metrelik sebze bahçesi doğu-batı hattı boyunca birbirinden 150 metre uzaklıktaki iki bina arasında yapılacaktır.Binaardan birisi 60 metre , diğeri 100 metre  yüksekliğindedir.Bahçemiz gün boyunca maksimum saat güneş ışığı alması için nereye yerleştirilmelidir?


1, Ekim, 2016 Orta Öğretim Matematik kategorisinde ra (71 puan) tarafından  soruldu
1, Ekim, 2016 ra tarafından düzenlendi

Bu soru hoşuma gitti.

Vaktim olduğunda, biri analiz, biri geometri ile iki çözümünü yazacağım.

Tabi ki zaman ayırdıgınız/ayıracagınız  için teşekkurler.


<p> Bence bu soru icin gunesin doguş ve batis saatleri arasindaki fark bilinmeli. Örnegin bu süre 9 saat ise saatte 20 derecelik, 10 saat icin 18 derecelik gunesin hareketi soz konusu.
</p>

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Geometrik çözüm:

Apartmanlardan birinin (diğerine doğru) 15 metre kaydırıldığını düşünelim.

O zaman tarlanın (diğer) ucunun en çok güneş alabilmesi için (kaydırıldıktan sonra) binaların tepelerini birleştiren doğru parçasını en geniş açıyla gören (yerdeki) nokta olmalıdır. Bu da, $AB$ yi kiriş kabul eden çemberler arasında yere teğet olan çemberin ($C$) değme noktası olması demektir. 

Cevap:  (her iki çözümde de) Tarlanın, 60 m. yüksekliğindeki apartmandan $\frac12(5\sqrt{11875}-405)$  (yaklaşık 70,1605) m. uzakta olması gerektiği (Analiz çözümü için Wolfram Alpha kullandım, geometrik çözüm el ile de kolayca yapılabiliyor) çıkıyor.

image

4, Ekim, 2016 DoganDonmez (3,534 puan) tarafından  cevaplandı
5, Ekim, 2016 DoganDonmez tarafından düzenlendi
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Aşağıdaki şekildeki $\alpha+\beta$ açısı maksimum yapacak $x$ değerini bulmak gerekiyor.

image

Bunun için $\tan(\alpha+\beta)$ yı maksimum yapmak yeterlidir.

$\tan\alpha=\frac x{60},\ \tan\beta=\frac{135-x}{100}$ ve $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\frac x{60}+\frac{135-x}{100}}{1-\frac x{60}\frac{135-x}{100}}=\dfrac{40x+8100}{x^2-135x+6000}$ olduğundan, bir değişkenli rasyonel bir fonksiyonun maksimumunu bulmaya dönüşür.

Burada küçük bir şeyi gözardı ettim: 

Tarlanın yalnızca tamamının güneş aldığı saatleri hesaba kattım. Bu kabul, cevapta küçük bir farklılığa yola açabilir. Bu kabulü yapmazsak soru daha karmaşık bir hale gelir.

4, Ekim, 2016 DoganDonmez (3,534 puan) tarafından  cevaplandı
...